Математические неожиданности

Цель: изучить свойства топологии на примере листа Мебиуса.
Предмет: превращение листа Мебиуса в зависимости от поставленных экспериментов.
Объект: лист Мёбиуса.
Гипотеза: если изучить поверхность листа Мебиуса, то можно сформулировать необычные свойства в геометрии Евклида.

Задачи
- спланировать работу в библиотеке;
- провести количественный и
качественный анализ отобранного
материала;
- провести опыты по разрезанию листа
Мебиуса и эксперименты по
перекручиванию колец;
- обобщить полученные данные;
- приобрести навыки бумажного
моделирования и конструирования;
- изучить применения листа Мебиуса.

Методы
- поиск;
- отбор и анализ научной литературы;
- обобщение;
- представление результатов;
- моделирование;
- конструирование.

Открытие листа Мебиуса.
А.Ф.Мебиус
И.Б.Листинг

Что же поразило этих двух немецких математиков?

А то что у листа Мебиуса одна сторона.

Инструменты для работы

За работой

Опыт 1
Склеим полоску, получим обычное кольцо с двумя сторонами. Теперь разрежем это кольцо вдоль посередине и получим два одинаковых кольца.

Изготовление модели
Возьмём бумажную полоску в форме прямоугольника ABCD (рис. 1)

Изготовление модели
Если перед склеиванием противоположных сторон одну из них повернуть на 180 градусов и соединить точку А с точкой С, а точку В с точкой D (рис. 2).

То получится лист Мебиуса

Опыт 2
Разрежем лист Мебиуса вдоль посередине и получим кольцо, перекрученное дважды, его называют «афганской лентой».

Опыт 3
Если теперь «афганскую ленту» разрезать вдоль посередине, то получим две афганские ленты, соединенные друг с другом.

Опыт 4
Если лист Мебиуса разрезать вдоль, отступив треть от края, мы получим лист Мебиуса и «афганскую ленту» соединенные между собой.

Лист Мебиуса обладает любопытными свойствами:
- Имеет одну границу
- Неориентируемый
- Непрерывный
- Двусвязный
- Хроматический номер – 6

Применения листа Мебиуса
Существуют технические применения ленты Мебиуса:
- В системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мебиуса (чтобы удвоить время записи).
- В матричных принтерах красящая лента так же имеет вид листа Мебиуса для увеличения ее ресурса.
- Устройство под названием резистор Мебиуса – это недавно изобретенный электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Применение листа Мебиуса
Резистор
Наконечник бура

Предмет вдохновения
Лист Мебиуса является предметом вдохновения людей, работающих в различных областях искусства:
- Лист Мебиуса постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».
- В произведениях уральского писателя Владислава Крапивина упоминается постоянно кольцо Мебиуса, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например «Застава на Якорном поле. Поветь»)

Предмет вдохновения
- В рассказе А. Дж. Дейча «Лист Мебиуса» бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится на столько запутанным, что превращается в ленту Мебиуса, после чего начинают исчезать поезда.
- На значке механико-математического факультета Московского университета изображен лист Мебиуса

Предмет вдохновения
Морис Корнелиус Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных – лист Мебиуса II, показывает муравьев, ползающих по поверхности ленты Мебиуса.

Лист Мебиуса II

Предмет вдохновения