Математическое моделирование

Литература
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры.– М.: Наука, 2002.
Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.
Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.
Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

Немного истории
от манипуляции предметами ⭢ к манипуляциям понятиями о предметах
замена изучаемого объекта, процесса или явления более простым и доступным для исследования эквивалентом
невозможность учесть всю совокупность факторов, определяющих свойства и поведение объекта

Примеры моделей
Архитектура – эскиз, макет здания
Медицина – плакат с нарисованными сосудами
Авиация – уменьшенная копия самолета
Электротехника – схема электрической цепи

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый (абстрактный) объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя важные для данного исследования типичные черты оригинала
Определение модели

Роль моделей
Здание – некрасивое, непрочное или не вписывается в окружающий пейзаж
Демонстрация систем кровообращения на натуре негуманна
Напряжения, например в крыльях, могут оказаться слишком велики
Собирать электрические цепи для измерений неэкономично

Связь модели с оригиналом
Создание модели предполагает сохранение каких-то свойств оригинала, причем в разных моделях эти свойства могут быть разными. Здание из картона много меньше настоящего, но позволяет судить о его внешнем виде; плакат делает понятной систему кровообращения, хотя ничего общего не имеет с органами и тканями; макет самолета не летает, но напряжения в его корпусе соответствуют условиям полета.

Для чего нужны модели?
Вместо изучения свойств объекта-оригинала исследуют аналогичные свойства модели, предполагая, что в результате такого изучения будут получены новые знания об объекте-оригинале

Почему используют модели?
Модель доступнее для исследования, чем реальный объект,
Исследовать модель проще и дешевле, чем реальные объекты,
некоторые объекты невозможно изучать непосредственно: пока невозможно, например, построить устройство для термоядерного синтеза или провести эксперименты в недрах звезд,
невозможны эксперименты с прошлым, недопустимы эксперименты с экономикой или социальные эксперименты

Назначение моделей
С помощью модели можно выявить наиболее существенные факторы, формирующие свойства объекта. Поскольку модель отражает только некоторые характеристики объекта-оригинала, то, варьируя набор этих характеристик в составе модели, можно определить степень влияния тех или иных факторов на адекватность поведения модели

Модель позволяет научиться управлять объектом, апробируя разные варианты управления на модели объекта
Назначение моделей

Модель нужна:
Для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром.
Для того, чтобы научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.
Для того, чтобы прогнозировать поведение объекта и оценить последствия различных способов и форм воздействия на объект (метеорологические модели, модели развития биосферы).

Свойство правильной модели
Правильно построенная, хорошая модель обладает замечательным свойством : ее изучение позволяет получить новые знания об объекте-оригинале, несмотря на то, что при создании модели использовались только некоторые основные характеристики оригинала

Приемы моделирования
объединены в две группы:
материальное (предметное) и идеальное

Материальное моделирование
Модель воспроизводит основные геометрические, физические, динамические и функциональные характеристики изучаемого объекта, когда реальному объекту сопоставляется его увеличенная или уменьшенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях с последующим перенесением свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия (планетарий, модели зданий и аппаратов и т.д.). Процесс исследования в таком случае тесно связан с материальным воздействием на модель, т.е. состоит в натурном эксперименте. Таким образом, материальное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.

Идеальное моделирование
Основано не на материальной аналогии объекта и модели, а на умозрительной, идеальной. Идеальное моделирование носит теоретический характер

Типы идеального моделирования
Интуитивное – моделирование объектов, не поддающихся формализации или не нуждающихся в ней. Жизненный опыт человека можно считать его интуитивной моделью окружающего мира
Знаковое – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые преобразования разного вида: схемы, графики, чертежи, формулы и т.д. и содержащее совокупность законов, по которым можно оперировать с элементами модели

Математическое моделирование
исследование объекта осуществляют на основе модели, сформулированной на языке математики и исследуемой с помощью тех или иных математических методов
Математическое моделирование – это область науки, занимающаяся моделированием явлений природы, техники, экономической и общественной жизни с помощью математического аппарата и, в настоящее время, реализующая эти модели с помощью ЭВМ