Метод мажорант

Заинтересовавшись поисками универсальных методов решения математических задач, ученица решила более обстоятельно изучить и изложить один из таких способов – решение уравнений и неравенств так называемым «методом мажорант».
Аня начала накапливать материал, пользуясь различными пособиями по алгебре и началам анализа, вариантами вступительных письменных экзаменов по математике различных ВУЗов. Когда вышло в свет пособие для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы (под ред. С.Шестакова), то ученица и там обнаружила множество красивых задач, к которым применим исследуемый ею метод.
По мере накопления материала научный руководитель Ольга Геннадьевна предоставляла девочке возможность на уроке рассказывать детям о своих находках. Выступление ученицы в роли учителя, безусловно, и самой ей помогло глубже изучить проблему, а задаваемые старшеклассниками вопросы заставляли её искать научно-обоснованные, но в то же время доступные школьникам приёмы изложения материала.
Неоценимую помощь оказала Кислова Аня девятиклассникам, штудирующим в настоящее время сборники подготовительных задач к экзамену по алгебре за курс основной школы и ЕГЭ.
И девятиклассники, и одиннадцатиклассники непременно встретят на любом экзамене задания повышенной сложности, решаемые методом мажорант.
Есть в проекте и задачи самого автора.
Поскольку нет предела совершенствованию, то накопление материалов по данной теме будет продолжено следующими поколениями учащихся, а Кисловой Анне мы выразим благодарность за её творческий общественно-полезный труд.
Представляем на ваш суд её проект.
Кислова Анна, ученица 11 «А» класса
Свежевская Ольга Геннадьевна, учитель математики, руководитель проекта

Перед вами обложка пособия, выпущенного издательством лицея №1571 СЗОУО г. Москвы
2007

Цели проекта:
сконцентрировать в одном пособии задачи, решаемые методом мажорант;
показать ученикам практически универсальный алгоритм решения многих задач этим методом;
заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа.
пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики;
передать этот проект в школьное издательство для создания брошюры «метод мини-макс»;
на базе данного проекта провести 2-3 факультативных занятия для наших старшеклассников, что будет немало способствовать повышению их уровня математического развития.
Задачи проекта:

Решить неравенство:
Решение
Оценим левую часть неравенства:
1. это неравенство верно при любых значениях , причём существуют значения , при которых достигаются и значение 0, и значение 1.
это неравенство верно при любых значениях , причём существуют
значения , при которых достигаются и значение 0, и значение 1.
3. это неравенство верно при любых допустимых значениях х.
(Искать допустимые значения х не обязательно, вы в этом сейчас убедитесь). Теперь вчитаемся в условие.
Сумма трёх неотрицательных чисел не может быть меньше нуля, а равна нулю тогда и только тогда , когда каждое слагаемое равно 0.
Метод мажорант
К 11 классу мы с одноклассниками решили сотни различных уравнений и неравенств. Исследуя различные способы их решения, я пришла к выводу, что наиболее красивым, наиболее универсальным способом поиска решений является именно этот метод. Очень
возможно, что кто-то из вас и не слышал такое выражение, как «метод мажорант».
На самом деле, вы встречались с этим методом, просто не знали, как он называется. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max». Это очень красивый метод, и ему непременно надо научить всех.

Здесь достаточно решить одно из уравнений системы и проверить, подходят ли полученные значения х для остальных уравнений.
Выберу самое лёгкое для решения уравнение, а именно третье:
Теперь проверим, являются ли найденные корни третьего уравнения корнями других уравнений системы.
равенство верное;
Проверим первое значение переменной :
равенство неверное
Значит, не является решением данной системы.
Проверим второе значение х:
равенство верное;
равенство верное
Значит, решением системы является.
Ответ:

Вершина параболы, стоящей
в левой части неравенства,
имеет координаты x=1, y=3.
Наименьшее значение функции
равно 3 при x =1.
У графиков данных функций только
одна общая точка с координатами
x=1, y=3
Ответ: 1

Вершина параболы, стоящей
в правой части уравнения,
имеет координаты x=5, y=8.
Область значений выражения,
стоящего в левой части
уравнения [-8;8].
У графиков данных функций
нет общих точек.
Ответ: нет решений

Не удивляйтесь, что только на этих страницах, а не раньше, я решила изложить теоретические основы метода и снова затем продолжу решение задач. Теория станет более понятной, когда я с вами уже рассмотрела несколько примеров.
В одном из пособий мы встречаем такое определение: «Мажорантой данной функции на множестве P называется такое число M, что либо для всех , либо для всех ».
Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, больше или равное 1, будет мажорантой для функций и на любом множестве.
Основная идея метода мажорант состоит в следующем:
Пусть мы имеем уравнение и существует такое число M, что для любого x из области определения и имеем: и , тогда уравнение эквивалентно системе:
Естественно, у вас возникнет вопрос: «Как же искать такое число M?»

Существует несколько приёмов нахождения данного числа М.
I способ связан с нахождением области значений заданных функций.
Пример
Решить уравнение
Решение
Проанализируем сначала правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх.
Найдём координаты вершины данной параболы. Я думаю, что все знают, как это делается, поэтому не буду расписывать всё; координаты вершины (5;8).
Тогда область значений этой квадратичной функции , причём значение 8 она принимает только один раз при х=5.
В левой части уравнения находится функция . Область значение её [-8,8].
Значит, если графики этих функций имеют общую точку, то её ордината может быть только 8.
Данное уравнение равносильно системе:
Второе уравнение системы имеет единственный корень 5 , но при выполнении проверки первого уравнения получаем неверное равенство из чего делаем вывод, что система, а значит, и исходное уравнение, не имеет решений.
Ответ: решений нет.

Ответ: 5

Решить уравнение
Решение
Проанализируем правую часть уравнения. Рассмотрим квадратичную функцию , графиком которой будет являться парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины. Координаты вершины параболы (3;1). Значения этой квадратичной функции больше или равны 1, причём значение 1 функция принимает только один раз – при х=3.
. Значения левой части данного уравнения не превосходят 1.
Равенство между значениями данных функций может достигаться только тогда, когда обе части уравнения принимают значение 1.
Следовательно, данное уравнение равносильно системе:
Решив второе уравнение системы, получим .
Проверяем, является ли число 3 корнем первого уравнения системы:
равенство верное. Значит, значение 3 является решением исходного уравнения. Ответ: 3.

Решение
На первый взгляд, это не простой пример, но решается он не так уж сложно.
Начинаем опять с анализа составляющих неравенства. Функция имеет наибольшее значение равное 1, причём достигается оно только при х=-4.
Учитывая, что функция возрастает , и , делаем вывод о справедливости неравенства при любом значении х.
Большим единицы произведение в левой части данного уравнения никак не может быть.
Неравенство равносильно системе:
Решаем первое уравнение системы:
Проверяем является ли число (-4) корнем второго уравнения системы.
Проверка:
равенство верное
Ответ: -4
Рассмотрим теперь пример, содержащий логарифм.
Решить неравенство

Рассмотрим неравенство с тремя (!) переменными.
Решение
Нас выручит метод мажорант.
Начнём с оценки левой части неравенства. Так как для любого действительного числа
справедливо неравенство , а значение арифметического квадратного корня неотрицательно , то
Оценим правую часть неравенства:
Следовательно, неравенство решений не имеет, так как
и
Ответ: решений нет.

II способ. При поиске решения уравнений и неравенств часто бывает полезным применение базовых неравенств
Неравенство Коши
равенство достигается в этом неравенстве при a = b . Если же , то
Оценка однородного тригонометрического многочлена
Тригонометрические неравенства
Оценка двух взаимообратных чисел , если равенство достигается при

Тогда значение дроби в правой части не больше 1 (меньше или равно 1)
Значит, если данное уравнение имеет решения, то только тогда, когда обе части одновременно станут равными 1 при одних и тех же значениях переменных.

Ответ: 0

Решить систему уравнений:
И тут снова на помощь приходит метод мажорант.
Решение
Рассмотрим первое уравнение системы
Оценим левую часть уравнения
как сумма двух взаимнообратных положительных чисел.
Смотрите – система уравнений с тремя (!) переменными.
Оценим правую часть уравнения
Уравнение равносильно системе:
Ответ: , , ,
Воспользуемся равенством для второго уравнения системы.

Решение
Сначала запишем равносильное уравнение в удобном для нас виде:
(*)
Найдем наименьшее значение функции, стоящей в левой части уравнения, на отрезке .
Отсюда видно, что f(x) возрастает на отрезках и , а убывает
на отрезке . Значит, наименьшее значение функция f(x)
принимает либо в точке , либо в точке .
Но и , наименьшим значением функции f на данном отрезке оказалось значение 1.
Итак, левая часть уравнения (*) не меньше 1 на отрезке , причем значение 1 может достигаться только при . А значение выражения в правой части уравнения (*) не больше 1. Значит, если значения функций совпадут, то этим значением может быть только 1.
Проверкой убеждаемся, что и правая часть при х=1/2 принимает значение 1 .
Ответ: 0,5
III cпособ. Нахождение мажоранты с помощью производной:
Пример
Найти все решения уравнения лежащие на отрезке

Дорогие девятиклассники! Для вас я решу несколько типичных заданий повышенной сложности из Сборника задач для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (под редакцией С.Шестакова). Такие же задания ждут вас на предстоящем ЕГЭ
(Едином государственным экзамене).
И снова нас выручит метод мажорант.
Решение
Поскольку дискриминант каждого квадратного трёхчлена, стоящего под знаком арифметического квадратного корня, отрицателен, то при любых значениях переменной Х они принимают только положительные значения (коэффициент при Х2 положителен)
Сумма неотрицательного числа (х-2)2 и числа 1 не меньше 1, а сумма неотрицательного числа и числа 5 не меньше 5. Тогда
Причём знак равенства можно будет ставить только в случае, если Х=2, в остальных случаях сумма дробей в левой части уравнения окажется меньше числа 7/5, а нам этого не нужно. Математики говорят, что дробь 7/5 является мажорантой для функции
3.3 D 08(а) Решить уравнение
f(x)=
Ответ: 2

Мне показался интересным пример
Значения первого арифметического квадратного корня больше или равны 1, причём равно 1 только в случае, если верно равенство . Аналогично, значения второго арифметического квадратного корня не меньше 5 (больше или равны 5).
Следовательно, согласно методу мажорант, или методу «мини-макс», как его ещё называют, левая часть уравнения имеет минимум, равный 6, а правая часть представляет собой постоянную функцию со значением 6.
Но чтобы значения функций совпали, надо проверить, имеет ли решение система:
х-2у+1=0,
3х-у-2=0. Единственное решение этой системы (1;1) Ответ: (1;1)
Решение
Решение
Число 2 – наименьшее значение выражения, стоящего в левой части неравенства, причём достигается оно лишь при х = -2.
Число 2 – наибольшее значение дроби, стоящей в правой части неравенства, причём достигается оно лишь при у=3.
Левая часть неравенства никогда не станет меньше 2.
Согласно применяемому нами методу остаётся единственная возможность, чтобы обе части неравенства приняли значение 2. Ответ: (-2;3)
4.2. D08. Решить уравнение
На первый взгляд, следующее неравенство сложно уже хотя бы тем, что оно с двумя переменными. Но метод «мини-макс», или метод мажорант и здесь нас выручит.

Рассмотрим задание 4.3 D10.
Решить неравенство, зная, что значения Х и У – целые числа.
Решение
По условию, Х и У целые числа, а тогда значения подкоренных выражений окажутся тоже целыми числами. Нельзя допустить, чтобы значения подкоренных выражений оказались больше или равны 1 (тогда неравенство не будет выполнено).
Значит, нам ничего не остаётся, как потребовать, чтобы значения подкоренных выражений, будучи целыми в то же время были и меньше 1. Да это же целое число 0, и ничего другого!
Составим и решим систему
3х-2у-4=0
2х+3у-7=0
Эта система имеет единственное решение (2;1)
Ответ: (2;1)

Предлагаю свой собственный пример.
Решить уравнение
Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:
Пример
Ответ
3
0,25