Методика построения адаптивной модели определения движения КА Cергиевский А.Н. ФГУП ЦНИИ “Комета”

Постановка задачи
Имеется. Решается задача Коши для высокоэллиптического КА с периодом обращения ~ 12 часов. Начальные условия периодически корректируются по результатам траекторных измерений. Модели как описания движения (потенциалы сил притяжения Луны, Солнца и Земли), так и ошибок измерений (математические ожидания равны нулю, ковариационная матрица - известна) заданы. Ошибки прогнозирования движения указанного КА составляют 50-70 км (при прогнозировании на 2 недели в апогей орбиты) и 150-200 км (соответственно на 4 недели) и превышают соответствующие СКО ~ 5 раз.
Требуется. Уменьшить соответствующие ошибки прогнозирования (определения движения) КА до уровня меньшего соответствующих СКО.

Методика решения задачи.
Методика построения адаптивной модели определения движения космического аппарата (КА) может быть заключаться в выполнении следующей последовательности операций.
Проводится апостериорная оценка точности прогнозирования движения КА.
Проводится анализ:
особенностей движения рассматриваемых КА;
наиболее вероятных причин (основных источников) возникновения ошибок прогнозирования при использовании существующей методики прогноза;
путей повышения точности прогноза положения рассматриваемых КА.
На основе результатов проведенного анализа и априорной информации принимается решение о возможных вариантах моделей описания движения КА и ошибок измерителя, т.е. параметры обеих моделей, поправки к которым могут быть использованы в качестве компенсирующих.
Исходный материал для проведения апостериорной оценки точности разбивается на три подвыборки: обучающую, проверочную и контрольную. На обучающей выборке (малого объема) производится вычисление поправок к параметрам, выбранным в пункте 3, для которых удовлетворяется правило включения по одиночке в расширяемый вектор состояния [1].

На проверочной выборке (которая может быть объединена с обучающей) строится (адекватная) модель прогноза движения КА методом пошаговой регрессии [2]. Построение модели заканчивается, когда включение в модель оставшихся регрессоров, т.е. поправок, вычисленных в пункте 4, не приводит к существенному уменьшению функционала эмпирического риска [3].
На контрольной выборке проверяется статистическая устойчивость результатов апостериорной оценки точности прогноза.
Результаты. В результате применения предлагаемой методики ошибки прогнозирования (определения движения) КА были уменьшены до уровня существенно меньшего соответствующих СКО.

Основными причинами возникновения ошибок определения движения КА
служат следующие ошибки:
в определении начальных условий при решении задачи Коши [1]:
с начальными условиями , где -
шестимерный вектор параметров движения КА,
R=U+S+L+.. – потенциал сил, действующих на КА в полете, где основное влияние оказывает геопотенциал U, который может быть представлен в виде [1]:
S и L – потенциалы сил притяжения Солнцем и Луной соответственно;
- полиномы, а - присоединенные функции
Лежандра соответственно;
r, - геоцентрические радиус, широта, долгота;
Jn, Cnm, Dnm - коэффициенты разложения геопотенциала;
- гравитационная постоянная Земли;
ra - средний экваториальный радиус Земли;
ошибки в описании движения и расчетные ошибки.

Ошибки определения начальных условий обусловлены в свою очередь ошибками измерителя (погрешностей измерений и неточностью координатной привязки измерителя) и погрешностями при обработке результатов измерений. Последние в свою очередь можно разбить на ошибки за счет описания движения КА на интервале обработки измерений и расчетные ошибки.
Ошибки описания движения КА обусловлены как неточным знанием и учетом (известных) сил в потенциале R , так и наличием неизвестных и неучтенных в потенциале R сил, действующих на КА в полете.
Расчетные ошибки обусловлены как погрешностями при численном интегрировании системы дифференциальных уравнений
так и численными ошибками при вычислении оценки вектора состояния и при вычислении частных производных.

Задача поиска вектора компенсирующих поправок (как при поиске расширенного вектора состояния , где - вектор “мешающих” параметров [1], или уточнения только вектора начальных условий ) может рассматриваться в качестве задачи нелинейного регрессионного анализа – восстановления зависимости [3].

В рассматриваемом случае применение регрессионного анализа заключается в поэтапном наращивании уточняемых поправок к исследуемым параметрам (в частности, к коэффициентам разложения геопотенциала в соответствующий ряд) до тех пор пока расширение числа уточняемых параметров целесообразно.
В качестве критерия целесообразности расширения числа членов регрессии на j – ый параметр может служить выполнение следующего неравенства [2]:
> , (1)
где
- оценка поправки к параметру ;
- расчетное значение дисперсии параметра ;
в качестве обычно выбирают F0.05,1,ν - критическое значение распределения Фишера с ν - числом степеней свободы.

После выбора совокупности параметров, для которых для которых удовлетворяется правило (1) включения по одиночке в расширяемый вектор состояния производится проверка целесообразности их совместтного применения. Для этого сначала производится их ранжирование по значению величины . На следующем этапе выбирается параметр , для которого достигается максимум указанной величины. Оценивается величина остаточной суммы квадратов . В предположениии, что k параметров уже включены в расширяемый вектор состояния, включение k+1 параметра считается целесообразным [ ], если выполняется условие
где N – объем выборки.

Часто в качестве критериев, позволяющих сделать выбор «наилучшей» (по определению Д.Химмельблау) модели из нескольких возможных или предполагаемых моделей, обычно используют по отдельности или в некоторой комбинации критерии, приведенные в работе [6]:
ведется поиск наименьшего числа параметров регрессии, совместимого с разумной ошибкой;
при выборе параметров регрессии используются разумные физические основания;
выбор ведется по минимальной сумме квадратов отклонений между предсказанными и эмпирическими значениями.
Выбор модели в целом считается удовлетворительным, если отношение
не превышает определенной величины, где - остаточная
сумма квадратов , деленная на число степеней свободы;
- мера рассеяния ошибок прогноза, вызванного ошибками траекторных измерений. При этом предполагается [6], что модель приблизительно адекватно описывает экспериментальные данные.