Методы оптимальных решений

Цель и задачи
Цель – совершенствование теоретических знаний и практических навыков в области решения задач методами оптимальных решений
Задачи исследования:
Осуществить теоретический анализ информации для подготовки контрольной работы.
Произвести табличное и математическое описание задач.
Сформулировать выводы по результатам проделанной работы.

Задача № 1
Условие
Завод выпускает два вида строительных материалов: жидкое стекло и пенопласт. Трудозатраты на производство 1 т. стекла – 20 ч. , пенопласта – 10ч. На заводе работает 10 рабочих по 40 часов в неделю. Оборудование позволяет производить не более 15 т. стекла и 30 т. пенопласта в неделю. Прибыль от реализации 1 т. стекла – 50 руб., 1 т. пенопласта – 40 руб. Сколько материалов каждого вида необходимо произвести для того, чтобы получить максимальную прибыль.
Описание:
объем производства (т.), проданных товаров А и В соответственно.
Пусть стекла надо произвести х1 тонн, пенопласта – х2 тонн. Тогда трудозатраты на производство стекла 20 х1, пенопласта – 10х2.
Всего затрат: 20х1 + 10х2 ≤ 400
х1 ≤ 15
х2 ≤ 30
Уравнение целевой функции:
Система ограничений:
х1 ≤ 15
х2 ≤ 30, х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

Задача № 2
Условие
Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Запас сырья составляет 120 т. , трудозатрат – 400 часов. На единицу первого продукта необходимо затратить 3 т. сырья, на единицу второго – 5 т. На единицу первого продукта тратится 14 ч.. второго – 12 ч. Прибыль от реализации единицы первого продукта равна 30тыс./т., второго продукта – 35 тыс./т. Чему равна максимальная прибыль
Описание:
продукты А и В соответственно.
Ограничение модели:
- потратили сырья
- затраты рабочей силы
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0
Целевая функция : L(х1 х2) = 30 х1 + 35 х2 max

Задача № 3
Условие
Предприятие производит продукцию двух видов, используя для этого ресурсы трех видов. Известна технологическая матрица А и вектор ресурсов b. Элемент технологической матрицы ai,j соответствует ресурсу i, необходимому для производства единицы продукта j.
Технологическая матрица А= вектор b =
Описание:
х1
Матрица продукции двух видов х = х2
А * Х = в
х1 + 3х2 = 90
х1 + х2 = 50
2х1 + 0 х2 = 80
Эта задача отличается от всех остальных.
Поэтому здесь нет таблицы и целевой функции.

Задача № 4
Условие
Предприятие имеет ресурсы А и В в количестве 240 и 120 единиц соответственно. Ресурсы используются при выпуске двух видов изделий, причем расход на изготовление одного изделия первого вида составляет 3 единицы ресурса А и две единицы ресурса В, на изготовление одного изделия второго вида – 2 единицы ресурса А и 2 единицы ресурса В. Прибыль от реализации одного изделия первого вида – 20 р. , второго вида – 30 р. Ресурс В должен быть использован полностью, изделий первого вида надо выпустить не менее, чем изделий второго вида.
Описание:
Пусть изделие 1 – х1 единиц
изделие 2 – х2 единиц
Израсходовано ресурса А: 3х1 + 2х2 ≤ 240
В: 2х1 + 2х2 = 120
Целевая функция: L = 20х1 + 30х2 max функция прибыли
Ограничение модели:
3х1 + 2х2 ≤ 240
х1 + х2 = 60
х1 ≥ х2 , х1 ≥ 0, х2 ≥ 0

Задача № 5
Условие
Компания, занимающаяся добычей руды, имеет четыре карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190, 200 тыс. т. ежемесячно. Руда направляется на три обогатительные фабрики, мощности которых соответственно 250, 150, 270 тыс. т. в месяц. Транспортные затраты на перевозку 1тыс. т. руды с карьеров на фабрики заданы таблично. Сформировать таблицу транспортных затрат самостоятельно. Составить математическую модель задачи.
Описание:
170+130+190+200=690
250+150+270=670 690-670=20
Задача открытая, поэтому вводим дополнительно фабрику Ф4 с тарифами равными 0.

Ведём матрицу перевозок Матрица С стоимостей
х11 х12 х13 х14
х = х21 х22 х23 х24 1
х31 х32 х35 х 34 1 2 3 0
х41 х42 х43 х44 с = 2 3 1 0
3 1 2 0
1 3 2 0
Целевая функция: L = х11+2х12+3х13+2х21+3х22+х23+3х31+х32+2х33+х41+3х42+2х43 max
Составим систему ограничений задачи
х11+х12 + х13+х14=170
х21+х22+х23+х24=130
х31+х32+х33+х34=190
х41+х42+х43+х44=200 Это означает, что запасы А, В, С, Д вывозятся полностью.
х11+х12 + х13+х14=250
х21+х22+х23+х24=150 Система ограничений
х31+х32+х33+х34=270
х41+х42+х43+х44=20 Это означает, что потребности фабрик выполнены.
xij ≥ 0 i = 1,2,3,4 j = 1,2,3,4

Задача № 6
Условие
На предприятии имеется три группы станков, каждая из которых может выполнять пять операций по обработке деталей ( операции могут выполняться в любом порядке). Максимальное время работы каждой группы станков равно 100, 250, 180 ч. соответственно. Время выполнения каждой операции составляет 100, 120, 70, 110, 130 ч. соответственно. Производительность каждой группы станков задается матрицей
А=
Описание:
ипромввсмтрооторр
100+250+180=530
100+120+70+110+130=530
Задача закрытая, число запасов и потребностей одинаковые.

Матрица числа операций Матрица стоимостей
х11 х12 х13 х14 х15
х = х21 х22 х23 х24 х25
х31 х32 х35 х34 х35
3 5 11 10 5
с = 5 10 15 3 2
4 8 6 12 10
Целевая функция: L =3х11+5х12+11х13+10х14+5х15+5х21+10х22+15х23+3х24+2х25+4х31+8х32+6х33+12х34+10х35 max
Система ограничений:
1 станок х11+х12+х13+х14+х15=100
2 станок х21+х22+х23+х24+х25=250 Число часов на операции, стоящих в i-той строке
3 станок х31+х32+х33+х34+х35=180 равно максимальному времени работы i-того
станка.
1 операция х11+х21+х31=100
2 операция х12+х22+х32=120 Суммы часов j- той операции должны равняться
3 операция х13+х23+х33=70 времени выполнения этой операции.
4 операция х14+х24+х34=110
5 операция х15+х25+х35=130
xij ≥ 0 i = 1,2,3
j = 1,2,3,4,5