Методы решения

1) Использование свойств монотонности и ограниченности обратных тригонометрических функций
Решение некоторых уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции, основываются исключительно на таких свойствах этих функций, как монотонность и ограниченность. При этом используются следующие теоремы.
ТЕОРЕМА 1. Если функция y= f(x) монотонна, то уравнение f(x)= c(c= cont) имеем не более одного решения.
ТЕОРЕМА 2. Если функция y= f(x) монотонно возрастает, а функция y= g(x) монотонно убывает, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного решения.
ТЕОРЕМА 3. Если f(x)=c = g(x) (c= const), то на множестве Х уравнение f(x)= g(x) равносильно системе
f(x)= c,
g(x)= c.
Методы решения

2arcsin 2x = 3arccos x.
Решение. Функция у = 2arcsin 2x является монотонно возрастающей, а функция у = 3arccos x - монотонно убывающей. Число х= 0,5 является, очевидно, корнем данкого уравнения. В силу теоремы 2 этот корень - единственный.
Ответ: {0,5}.

Решение. Пусть .Тогда уравнение примет вид
. Функции
y=arctg z и y=arcsin z являются монотонно возрастающими. Поэтому функция также
является монотонно возрастающей. В силу теоремы 1 уравнение
имеет не более одного корня. Очевидно, что t = 0 является корнем этого уравнения. Поэтому <=>
Ответ: {- 1; 0}.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой
монотонно убывающую на отрезке
функцию
Уравнение в силу теоремы 1 имеет не более одного
корня. Очевидно, что корень этого уравнения
Поэтому решением неравенства является
отрезок
Ответ:

arcsin (x (x + y)) + arcsin (y (x + y)) =
Решение. Поскольку arcsin t при |t | 1, то левая
Часть уравнения не превосходит
Знак равенства возможен, лишь если каждое слагаемое левой
части равно . Таким образом, уравнение равносильно
системе:
x(x+y)=1
y(x+y)=1
Решение последней системы не представляет труда.
Ответ:
Методы решения

2а) уравнения и неравенства, левая и правая части которых являются одноимёнными обратными тригонометрическими функциями.
Решение уравнений и неравенств, левая и правая части которых представляют собой одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов, основываются, прежде всего, на таком свойстве этих функций, как монотонность. Напомним, что функции y= arcsin t и y= arctg t монотонно вовозрастают, а функции y= arccos t и y= arcctg t монотонно убывают на своих областях определения. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы:
Методы решения

Методы решения

2б) Уравнения и неравенств, левая и правая части которых являются разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.
При решении уравнений и неравенств, левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями, пользуются известными тригонометрическими тождествами. При решении многих уравнений такого рода бывает целесообразно не обсуждать вопрос о равносильности преобразований, а сразу переходить к уравнению-следствию и после его решения делать необходимую проверку. Рассуждения здесь могут быть примерно следующими. Пусть требуется решить уравнение
arcsin f(x)= arccos g(x). Предположим, что х0 –решение этого уравнения. Обозначим arcsin f(x0)= arccos g(x0) через
Методы решения

Методы решения

3а) Замена переменной.
Некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, можно свести к алгебраическим, сделав соответствующую замену переменной. При этом следует помнить о естественных ограничениях на вводимую переменную, связанных с ограниченностью обратных тригонометрических функций.
Методы решения

Методы решения

3б) Уравнения и неравенства, сводимые к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям и неравенствам.
Методы решения

Решите неравенство.