Многочлены и уравнения высших степеней

Пояснительная записка
За минувший век в математике произошли грандиозные изменения, она (впрочем, как и все другие науки) шагнула необыкновенно далеко вперед. Математические методы стали более общими и разнообразными, математические модели природных явлений, технических процессов, общественных ситуаций стали полноценнее, точнее и надежнее отображать существо дела. Математика все увереннее превращается в мощный инструментарий анализа, исследования и прогнозирования, повышается прикладное значение. Сочетание с гигантскими возможностями компьютеров позволило оформиться принципиально новому направлению научного познания- математическому моделированию. Математика должна быть прагматичной, учить людей правильно ориентироваться в жизни, обеспечивать свою безопасность в самом широком смысле слова.

Между алгебраическими решениями и многочленами имеется тесная связь. Изучение основных положений теории многочленов позволяет выполнять действие деление многочленов, что облегчает в дальнейшем решение таких задач математического анализа как нахождение асимптот, интегралов, производных. Изучение схемы Горнера дает общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит значительно расширить круг показательных, тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. Решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математике не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач. Данный курс позволит многим учащимся успешно подготовиться к сдаче экзамена в новой форме (тестирования). Кроме того, изучение курса поможет учителю подготовить учащихся к выполнению заданий ЕГЭ, связанных с решением различного вида уравнений и задач с параметрами.
Курс «Многочлены и уравнения высших степеней» рассчитан на 18 часов.

Цели: знакомство учащихся с основами теории многочленов, формирование представления о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне превышающем уровень государственных образовательных стандартов, создание ориентационной мотивационной основы для осознанного выбора дальнейшего профиля обучения.
Задачи: углубить теоретические знания учащихся по теории многочленов, расширить методы и приемы решения алгебраических уравнений высших степеней, продолжить развитие исследовательских умений и навыков учащихся.
Виды обучения предполагают следующие формы организации обучения: коллективные, групповые, самообучение, отчеты в форме презентации работ.
Формы и организации занятий: лекции, консультации, практимумы, самостоятельная работа.

Содержание
Тема1 Многочлены от одной переменной. Делимость многочленов.
Сообщается цель и значение данного курса. Вводится понятие многочлен n-ой степени, старший член, свободный член, многочлен нулевой степени, нулевой многочлен, определение тождественно равных многочленов, деление многочленов «уголком»,формула деления многочленов нацело и с остатком, свойства делимости многочленов.
Тема2 Схема Горнера.
Алгоритм вычисления по схеме Горнера, алгоритм разложения многочлена по степеням разности.
Тема3 Многочлен Рn(х) и его корень. Теорема Безу.
Определение корня многочлена, теорема Безу и ее применение, связанное с числом корней, равенство многочленов, понятие кратного корня, кратность корня.
Тема4 Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу.
Определение алгебраического уравнения , следствия из теоремы Безу.

Тема5 Решение алгебраических уравнений.
Теорема о целых корнях (делители свободного члена)алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, теорема о рациональном числе, являющемся корнем целочисленного многочлена. Понижение степени алгебраического уравнения, зная один из его корней.
Тема6 Делимость двучленов хm am на ха.
Признаки делимости двучленов.
Тема7 Симметрические многочлены.
Понятие симметрических многочленов, элементарных симметрических многочленов от 3-х переменных, теорема Виета для многочленов третьей степени с одной переменной.

Тема8 Множители от нескольких переменных .
Определение многочлена от нескольких переменных, степени одночлена, степени многочлена, понятие однородного многочлена, разложение однородного многочлена на множители, применяя подстановку у=tx, x=ty,а а также другие приемы разложения.
Тема9 Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона.
Формула бинома Ньютона, понятие биноминальных коэффициентов, связать данное понятие с треугольником Паскаля, понятие факториала, вычисление биноминальных коэффициентов с помощью формулы , свойство биноминальных коэффициентов.

Тематическое планирование