Множества

Понятие множества
- используют для описания совокупности некоторых предметов или объектов, обладающих определенным набором свойств.
Предметы одной совокупности могут отличаться др. от др. и от предметов другой совокупности.
Элементы множеств - объекты этих множеств.
A, B, C, ... – множества
a, b, c, ... - элементы множеств
а∈ А - a - элемент множества A
а∉ А - a не является элементом множества A

5∈R;
-10∈Z;
0,5∉N
Виды множеств
Конечные - содержат определенное число элементов.
Бесконечные - содержат бесконечное число элементов.
Пустое - не содержит ни одного элемента ∅.

Способы задания множеств
1. Перечисление элементов множества
M = {2, 3, 5, 7} или M = {7, 3, 2, 5}
2. Характеристическое свойство
A = {x: x∈p(x)}
Множество четных натуральных чисел, которые больше 2, но меньше 20.
A = {x: x=2k, k∈N, 2 ≤ k ≤ 9}

A и B - равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
∀x∈ A ⇔ ∀x∈ B
A = B
A = {5, 6, 7}; B = {6, 7, 5} => A = B
B - подмножество A, если каждый элемент B является элементом A.
∀b∈ B => ∀b∈ A
B ⊂ A (В включено в А)
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B = {2, 4, 6} => B ⊂ A

Если в B найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий A, то B не будет являться подмножеством A.
B ⊄ A
[a, b] ⊄ [a, b)
Свойства:
A ⊂ A
∅ ⊂ A

Числовые множества
- множества, элементами которых являются числа.
1, 2, 3, ..., n, ... образуют множество натуральных чисел
N = {1, 2, 3, ..., n, ...}
Множество целых чисел - натуральные числа, им противоположные и 0.
Z = {0, ±1, ±2, ..., ±n, ...}

Числовые промежутки
a, b ∈ R, a < b
1. [a, b]={x∈R: a числовой отрезок
x ∈ [a, b]
2. (a, b)={x∈R: a
x ∈ (a, b)
3. Бесконечные числовые интервалы:
(a; +∞)={x∈R: x>a}, x ∈ (a, +∞)
(−∞; a)={x∈R: x
(−∞;+∞)={x∈R}, x ∈ (−∞, +∞)

Операции над множествами
Объединением (суммой) нескольких множеств называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из данных множеств.
А ∪ В = {х | х ∈ А или х ∈ В}
Пусть A и B − непустые множества. Найти A ∪ B
А∪В=C

А∪В=C
А∪В=A
A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A для ∀А

a). Пусть A = [1; 3], B = [2; 4), найти A ∪ B.
A ∪ B = [1; 4)

b). Пусть A = (−6; 8), B = [0; 3/2], найти A ∪ B.
A ∪ B = (−6; 8)
с). Пусть A = (−10; −5]; B = [3; 7). Найти A ∪ B .
A ∪ B = (−10; −5] ∪ [3; 7)

Пересечение множеств
Пересечением (произведением) нескольких множеств называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из данных множеств.
C = A ∩ B
А ∩ В = {х | х ∈ А и х ∈ В}
Пусть A и B − непустые множества. Найти A∩B
А∩В=∅

А∩В=C
А∩В=B
A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅ для ∀А

a). Пусть A = (−∞; −2], B = (−7; 4]. Найти A ∩ B.
A ∩ B = (−7; −2]
b). Пусть A = (5; +∞), B = [10; 15]. Найти A ∩ B.
A ∩ B = [10; 15]

c). Пусть A = (-∞; 0), B = [1; +∞). Найти A ∩ B.
A ∩ B = ∅

Алгебраические свойства
U - универсальное множество, т.е. все рассматриваемые объекты, являются его элементами.

Разность множеств
Разностью множеств A и B называется множество C, состоящее из тех и только тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B.
С= A \ B
А \ В = {х | х ∈ А, х ∉ В}
Пусть A и B − непустые множества. Найти A \ B
А \ В=A

А \ В=C
А \ В=C

a). Пусть A = (−∞; −2], B = (−7; 4]. Найти A \ B.
A \ B = (−∞; −7]
b). Пусть A = (5; +∞), B = [10; 15]. Найти A \ B.
A \ B = (5; 10) ∪ (15; +∞)

c). Пусть A = (-∞; 0), B = [1; +∞). Найти A \ B.
A \ B = (-∞; 0)