Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Василий Васильевич Леонтьев
(1906-1999)
Американский экономист
1936 г. Впервые сформулирована проблема расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида.
1941 г. "Структура Американской экономики, 1919-1939"
1953 г. "Исследования структуры американской экономики "
1966 г. "Экономическая теория затраты-выпуск"
1977 г. "Будущее мировой экономики"
1977 г. "Очерки по экономике"
1973 г. Нобелевская премия
назад

2. Постановка задачи
Рассмотрим производственную сферу хозяйства, состоящую из n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт.
Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление).
назад

3. Основные характеристики
общий объем продукции i-й отрасли (валовой выпуск, валовой объем);
объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема своей продукции (межотраслевые поставки);
объем продукции i-й отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления).
далее

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности: валовой выпуск i-й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах.
далее

Величины в течение длительного времени меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, т.к. технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа.
коэффициенты прямых затрат
матрица прямых затрат
далее

Наряду с коэффициентами прямых затрат рассматривают коэффициенты косвенных затрат.
Так, например, j-я отрасль использует продукцию i-й отрасли непосредственно (прямые затраты) и опосредованно, потребляя ранее произведенную свою продукцию и продукцию других отраслей, для производства которых была использована продукция i-й отрасли. Эти опосредованные один раз затраты называются косвенными затратами первого порядка.
Коэффициенты косвенных затрат первого порядка образуют матрицу
далее

Матрица называется матрицей полных затрат, элементы которой показывают величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.
Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.
назад

4. Математическая модель задачи
Согласно гипотезе линейности система (*) примет вид
далее

Введем обозначения:
На основании согласованности матрицы А с матрицей Х:
- матричный вид системы (**) или уравнение межотраслевого баланса (модель Леонтьева).
далее

Уравнение межотраслевого баланса используется:
Необходимо рассчитать объем конечного потребления по известному объему валового выпуска
Необходимо рассчитать объем валового выпуска по известному объему конечного потребления
назад

5. Методы решения
Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса)
Метод Крамера (с помощью определителей)
Метод обратной матрицы
назад

Метод обратной матрицы
Рассмотрим СЛУ (**) в матричном виде:
Пример.
назад

Пример. Имеются две отрасли:
далеедалее назад

Необходимо:
определить прямые затраты,
определить объем конечной продукции,
определить матрицу полных затрат,
найти объем валового выпуска каждой отрасли, если в плановом периоде выпуск конечной продукции должен повысится в 1-ой отрасли на 50%, во 2-ой отрасли на 20%,
найти межотраслевые поставки в плановом периоде,
составить межотраслевой баланс в плановом периоде,
определить объем чистой продукции в плановом периоде,
определить матрицу косвенных затрат 1-го порядка.
назад

1) Решение: (определить прямые затраты):
Для нахождения матрицы прямых затрат воспользуемся гипотезой линейности , тогда
далеедалее назад

Матрица прямых затрат имеет вид:
Матрица А продуктивна.
назад

2) Решение: (определить объем конечной продукции):
Чтобы рассчитать объем конечного потребления по известному объему валового выпуска необходимо вычислить:
Следовательно, конечный продукт 1-ой отрасли составит 70 ед., 2-отрасли 120 ед.
назад

3) Решение: (определить матрицу полных затрат):
По определению матрица полных затрат:
назад

4) Решение: (найти объем валового выпуска каждой отрасли, если в плановом периоде выпуск конечной продукции должен повысится в 1-ой отрасли на 50%, во 2-ой отрасли на 20%):
По условию
Для нахождения объема валового выпуска по известному объему конечного потребления необходимо вычислить:
Следовательно, объем валового выпуска 1-ой отрасли составит 354 ед., 2-отрасли 534 ед.
назад

5) Решение: (найти межотраслевые поставки в плановом периоде):
Для нахождения межотраслевых поставок воспользуемся гипотезой линейности , тогда
назад

6) Решение: (составить межотраслевой баланс в плановом периоде):
назад

7) Решение: (определить объем чистой продукции в плановом периоде):
назад

8) Решение: (определить матрицу косвенных затрат 1-го порядка):
Матрица косвенных затрат первого порядка равна
назад