Модуль Начертательная геометрия

содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины

задачи

содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)

сферы, имеющие общий центр
концентрические сферы
соосные поверхности
поверхности, имеющие общую ось

способ вспомогательных секущих сфер
если центр сферы лежит на оси
какой-либо поверхности вращения, то сфера соосна с этой поверхностью
и пересекает ее по окружности
свойство сфер пересекать
соосные с ними поверхности вращения по окружностям
основа способа

вспомогательные секущие сферы можно применить
только при одновременном выполнении:
условия выбора способа
способ вспомогательных секущих сфер
1) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения
2) заданные поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную
какой-либо плоскости проекций
3) каждая из поверхностей должна содержать
семейство окружностей, по которым сферы будут пересекать эти поверхности

способ
эксцентрических сфер
способ
концентрических сфер
условия выбора способа
способ вспомогательных секущих сфер
пересекаются
скрещиваются
оси заданных поверхностей

обвести очерки поверхностей
соединить полученные точки
с учетом видимости
повторить пп.1–3 несколько раз
алгоритм построения
способ вспомогательных секущих сфер
точки линии пересечения поверхностей
3. отметить точки пересечения полученных двух окружностей
2. построить линии пересечения сферы с заданными поверхностями – это будут окружности
1. поверхности пересечь вспомогательной сферой с центром в точке О.
центр сферы т. О совпадает с точкой пересечения осей вращения.
сфера будет соосна с каждой из заданных поверхностей.

содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины (соосные, концентрические)
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)

способ концентрических сфер
1. пересекаются поверхности вращения
2. оси вращения поверхностей пересекаются
3. пересекающиеся оси вращения образуют
плоскость уровня
применяется в случаях, когда:

применим ли способ концентрических сфер
для решения данной задачи?
1. пересекаются
поверхности вращения
2. оси вращения поверхностей пересекаются
3. пересекающиеся
оси вращения образуют плоскость уровня
да – тор и цилиндр
да – на П2
да – параллельную П2
построить
проекции линии пересечения двух поверхностей

СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
1. О - точка центров концентрических
сфер-посредников
(точка пересечения осей вращения поверхностей)
2. точки пересечения очерков поверхностей на П2
и их проекции на П1
(точки A, B)
A2
B2
A1
B1

A2
B2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
3. определение радиусов минимальной и максимальной
сфер-посредников
Rmax – радиус максимальной
сферы-посредника
Rmax = расстоянию
от центра сфер
до наиболее удаленной
из точек пересечения очерков
Rmax
Rmin – радиус минимальной
сферы-посредника
перпендикуляры
из центра сфер к очеркам
Rmin = наибольшему из перпендикуляров
Rmin

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Rmax
Rmin
4. нахождение точек линии пересечения
строим максимальную
сферу-посредник
пересечение линий дает 1 точку – максимально удаленную
от центра сфер
(уже найдена – точка B)
линия пересечения
сферы-посредника
с тором
B2
линия пересечения
сферы-посредника
с цилиндром

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Rmin
B2
4. нахождение точек линии пересечения
строим минимальную
сферу-посредник
строим линии пересечения
сферы-посредника
с заданными поверхностями
(2 прямые)
их пересечение дает 2 точки
(пара конкурирующих точек – 1, 1’)
проекции этих точек
на П1 находим
по принадлежности к тору
радиус параллели – красный отрезок
12=(1’2)
1’1
11

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Rmin
B2
12=(1’2)
1’1
11
Rmax
4. нахождение точек линии пересечения (общий алгоритм)
дополнительные сферы-посредники
вводим между минимальной
и максимальной
интервал между сферами – 5 мм
их пересечение дает
искомые точки
(обозначить цифрами)
проекции этих точек на П1
находим по принадлежности
к вертикальному конусу
строим линии пересечения
сферы-посредника
с заданными поверхностями
(2-3-4 прямые)

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Rmin
B2
12=(1’2)
1’1
11
Rmax
4. нахождение точек линии пересечения (общий алгоритм)
дополнительные сферы-посредники
вводим между минимальной
и максимальной
интервал между сферами – 5 мм
их пересечение дает
искомые точки
(обозначить цифрами)
проекции этих точек на П1
находим по принадлежности
к вертикальному конусу
строим линии пересечения
сферы-посредника
с заданными поверхностями
(2-3-4 прямые)
действия п. 4 повторить необходимое количество раз
для получения точек линии пересечения

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Rmin
B2
12=(1’2)
1’1
11
Rmax
4. нахождение точек линии пересечения (общий алгоритм)
дополнительные сферы-посредники
вводим между минимальной
и максимальной
интервал между сферами – 5 мм
их пересечение дает
искомые точки
(обозначить цифрами)
проекции этих точек на П1
находим по принадлежности
к вертикальному конусу
строим линии пересечения
сферы-посредника
с заданными поверхностями
(2-3-4 прямые)

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
B2
12=(1’2)
1’1
11
находятся
на границе видимости на П1 (горизонтальный очерк цилиндра)
4. нахождение точек линии пересечения
точки изменения видимости линии пересечения
на П1
C2=(C’2)
C’2
C2

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
B2
12=(1’2)
1’1
11
C2=(C’2)
C’2
C2
5. построение линии пересечения на П2
полученные точки соединяем плавной линией
на
фронтальной плоскости проекций
линия вся видимая
задняя (невидимая) часть совпадает с передней

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
B2
12=(1’2)
1’1
11
C2=(C’2)
C’2
C2
6. построение линии пересечения на П1
полученные точки соединяем плавной линией
на
горизонтальной плоскости проекций
линия видимая на участке
между точками
С, А, С’
линия не видимая
на участке
между точками
С, B, С’
(B1)

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
B2
12=(1’2)
1’1
11
C2=(C’2)
C’2
C2
(B1)
8. очерки поверхностей на П1
очерк цилиндра
основание тора
9. очерки поверхностей на П2
цилиндр
очерк тора

A2
A1
B1
СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
B2
12=(1’2)
1’1
11
C2=(C’2)
C’2
C2
(B1)

Содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины (соосные, концентрические)
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)

если две поверхности второго порядка
описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее,
то линия их пересечения распадается
на две плоские кривые второго порядка
Плоскости этих кривых
проходят через прямую,
соединяющую точки пересечения линий касания
проекция линии касания цилиндра и сферы
(окружность)
проекция линии касания конуса и сферы
(окружность)
эллипсы
теорема Монжа

1. пересекаются
поверхности вращения
2. оси вращения поверхностей пересекаются
3. пересекающиеся
оси вращения образуют плоскость уровня
два конуса
на П2
параллельную П2
построить
проекции линии пересечения двух поверхностей
4. конусы описаны около сферы
теорема Монжа
Rсферы
равны

теорема Монжа
(конусы описаны вокруг сферы)
линия пересечения – два эллипса
(фронтально-проецирующие)
опорные точки
пересечение главных фронтальных меридианов
(четыре точки)
граница видимости на п1
пересечение эллипсов – линий пересечения
(две фронтально-конкурирующие точки)
точки смены видимости
(четыре точки)

теорема Монжа
(конусы описаны вокруг сферы)
линия пересечения – два эллипса
(фронтально-проецирующие)
промежуточные точки
граница видимости на п1

теорема Монжа
(конусы описаны вокруг сферы)
линия пересечения – два эллипса
(фронтально-проецирующие)
граница видимости на п1
соединить полученные проекции точек на П1
плавной линией
с учетом видимости
(два пересекающихся эллипса)

теорема Монжа
(конусы описаны вокруг сферы)
линия пересечения – два эллипса
(фронтально-проецирующие)
граница видимости на п1
очерки поверхностей
на П1
(остатки + их видимость)

теорема Монжа
(конусы описаны вокруг сферы)

построить на П1
по принадлежности
к конусу
(САМОСТОЯТЕЛЬНО)
пересечение главных фронтальных меридианов
(четыре точки)
теорема Монжа
(конус и цилиндр описаны вокруг сферы)
линия пересечения конуса
и цилиндра – два эллипса
(фронтально-проецирующие)
опорные точки
Пересечение эллипсов
(две фронтально-конкурирующие точки)
точки смены видимости
(четыре точки)
на п1
промежуточные точки
очерки поверхностей
на П1
(остатки + их видимость)
Соединить
полученные проекции
точек на П1
плавной линией
с учетом видимости
(два пересекающихся эллипса)
ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

Содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины (соосные, концентрические)
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)

применим ли способ эксцентрических сфер для решения данной задачи?
1. пересекаются поверхности вращения
3. оси вращения поверхностей скрещиваются
4. поверхности содержат семейства окружностей, по которым они могут пересекаться эксцентрическими сферами
да – конус и тор
да
да
2. поверхности имеют
общую плоскость симметрии параллельную одной из плоскостей проекции
да

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
1. определение опорных точек
(точки пересечения очерков на П2 и П1)
(обозначить как A, B, C)

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
2. определение промежуточных точек
вспомогательные поверхности - эксцентрические сферы, центры которых лежат на оси конуса
строим сферу-посредник
через ось тора проводим плоскость σ(σ2) ⊥ П2 и пересекающую центр тора
положение центра сферы-посредника
σ2
окружность
центр окружности
из центра окружности проводим перпендикуляр до оси конуса
R
центр сферы-посредника
окружность радиусом R –
сфера - посредник

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
2. определение промежуточных точек
строим линии пересечения
сферы-посредника
с заданными поверхностями
с тором
(уже построена)
σ2
с конусом
пересечение этих линий дает искомые точки

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
алгоритм решения
Действия п. 2
повторяют необходимое количество раз для получения точек линии пересечения
3. Построение
линии пересечения на П2
Полученные точки соединяем плавной линией
на фронтальной
плоскости проекций
(линия вся видимая,
задняя (невидимая) часть
совпадает с передней)
4. Определение точек смены видимости на П1
5. Построение
линии пересечения на П1
Точки смены видимости
линии пересечения на П1
находятся
на границе видимости
(горизонтальный очерк тора)
на п1
полученные точки соединяем плавной линией на горизонтальной плоскости проекций с учетом видимости
6. очерки поверхностей на П1

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
на п1

Содержание лекции
методы построения линии пересечения
двух поверхностей (Часть 2)
способ концентрических сфер
частный случай пересечения поверхностей
(теорема Монжа)
примеры решений задач из методички [2]
способ эксцентрических сфер
литература
основные термины (соосные, концентрические)
метод сфер-посредников
(способ вспомогательных секущих сфер)

СПОСОБ
КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ
СФЕР

СПОСОБ
ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ
СФЕР

Частный случай пересечения поверхностей
(Теорема Монжа)