Модуль 5УЭ-6

где - расстояние между точками и . Тогда при функция
Фундаментальное решение уравнения Лапласа
Теорема 6.1. Пусть
(6.1)
является решением уравнения Лапласа как по
, так и по
Доказательство. Действительно, при
из (6.1) имеем
А тогда

с гладкой границей
имеет место формула Гаусса-Остроградского
непрерывных вместе со своими производными первого порядка в замкнутой области
Определение 6.1. Функция
называется элементарным или фундаментальным решением уравнения Лапласа.
Для действительных функций
(6.2)
где
- элемент объёма, а
. Поскольку для любых функций
- внешняя нормаль к
в точке
справедливо
то, применяя формулу (6.2), получим
(6.3)

Где - фундаментальное решение уравнения Лапласа,
Теорема 6.2. Для любой функции
справедлива формула Грина
(6.4)
- площадь единичной сферы в
, а
- гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Вырежем из области
шар
радиуса
с центром в точке
и для оставшейся части
области
применим формулу (6.3), в которой
(6.5)

, входящие в формулу Грина (6.4):
получаем интегральное представление (6.4). Если бы нам из каких либо соображений были известны значения
Учитывая то обстоятельство, что на сфере
из формулы (6.5) в пределе при
и
то из формулы Грина мы бы получили явное представление для функции
:
(6.6)

Но поскольку функции
и
не могут быть произвольно заданными на
, то формула (6.6) не даёт возможности решать задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона. Однако при помощи интегралов, входящих в (6.6), удаётся при некоторых ограничениях такие решения найти.
Определение 6.2. Интегралы
называется соответственно потенциалами простого и двойного слоя и объёмным (ньютоновым) потенциалом. Функции
и
называются плотностями этих потенциалов.

Модуль 5
УЭ-7
Функция Грина

. Тогда в силу принципа экстремума
, так и всюду в
области
когда точка
, и поскольку
, лежащая вне шара
Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа
Определение 7.1. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области
называется функция
двух точек
, обладающая свойствами:
(7.1)
где
- элементарное решение уравнения Лапласа, а
- гармоническая функция как по
, так и по
;
(7.2)
или
лежит на границе
всюду в области
. Действительно, если
Отметим, что
часть области
, достаточно малого радиуса
То при
на границе области
и внутри шара
как в
.

- внешняя нормаль в точке
симметрична относительно точек
Теорема 7.1 Функция Грина
и
Доказательство. Пусть
шар радиуса
с центром в точке
и
при
. Применяя теперь формулу (6.3) в области
для гармонических функций
и
, будем иметь
являющихся границами шаров
где
на
и на сферах
и
и
. Но так как при
, то формулы примут вид
Повторяя теперь при
вывод, аналогичный уже проведённому при получении формулы (6.4), получим
.

произвольной гармонической функции
. Поэтому в случае, когда функция Грина известна, формула (6.4) принимает вид
Замечание. Вид формулы (6.4) не изменяется при прибавлении к функции
по
и
(7.3)
В дальнейшем мы покажем, что (6.4) можно использовать для нахождения решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Теорема 7.2 Функция Грина задачи Дирихле для шара
имеет вид
Доказательство. Действительно, так как
7.1. Функция Грина для шара
(7.4)
(7.5)
является гармонической как по
, так и по
то функция
при
. А при
имеем
(7.6)
Следовательно, представленная формулой (7.4) функция
удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к функциям Грина.

Замечание. Так как при
в силу (7.6)
то из (7.3) получаем доказанную ранее формулу Пуассона
(7.7)
дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре:

совпадает с полупространством
и искомое решение задачи Дирихле ограничено. Пусть точки
Пусть область
- точка, симметричная точке
, а
относительно плоскости
. Тогда функция
(7.8)
7.2. функция Грина для полупространства
является искомой функцией Грина для полупространства, так как функция
при
является гармонической как по
, так и по
и кроме того
при
.
Если гармоническая функция
удовлетворяет при
условиям
где
и
- положительные постоянные, то из (6.4) будем иметь
(7.9)