МЫ ХОДИМ ПО ПЛОЩАДЯМ:КАК ИХ ИЗМЕРИТЬ?

ЦЕЛИ РАБОТЫ:
уточнить понятие площади,
выяснить историю вопроса,
выстроить теорию «площади фигур» на основе площади треугольника,
создать алгоритм вычисления площади многоугольника,
как поступить с кругом?

УТОЧНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПЛОЩАДИ
Опр. 1. Фигура называется простой, если она разбивается на конечное число плоских треугольников.
Опр. 2. Площадью простой фигуры называется неотрицательная ве-личина, обладающая следующи-ми свойствами:
Единицы площади:
Основные: 1 кв. см., 1 кв. м.;
Производные: 1 кв. мм., 1 кв. дм, 1ар, 1га, ...
1 ед.
1 кв. ед.

ИСТОРИЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ
Понятия площадей прямолинейных фигур (треугольника, прямоугольника, параллелограмма и трапеции) являются самыми древними в истории развития геометрии. Еще в XVII в. до н. э. египтяне совершено правильно умели вычислять площадь прямоугольника: длину умножали на ширину. Для вычисления же площади треугольника (равнобедренного) они пользовались приближенной формулой: для этого они брали половину произведения основания треугольника на его высоту. Площадь трапеции египтяне также вычисляли приближенно: при вычислении площади равнобокой трапеции они брали произведение полусуммы ее оснований на боковую сторону.
Например, на папирусе Райнда приводится такая задача «Если тебе дан участок в поле с боковой стороной в 20 хет, с основаниями в 6 и 4 хет, то какова его площадь?» и ее решение:
½ ·(4+6)·20=100.

Основоположники геометрии.
Математические труды.
При доказательстве теорем о площадях фигур, ограниченных кривыми линиями, Архимед постоянно использует метод, известный как «метод исчерпывания». Доказательство с помощью метода исчерпывания, в сущности, представляет собой косвенное доказательство от противного. Иначе говоря, если теорема записана в форме отношения «А равно В», она считается истинной в том случае, когда принятие противоположного отношения «А не равно В» ведет к противоречию. Основная идея метода исчерпывания заключается в том, что в фигуру, площадь которой требуется найти, вписывают правильные фигуры. Площадь вписанных фигур увеличивают до тех пор, пока разность между площадью, которую требуется найти, и площадью вписанной фигуры не становится меньше заданной величины. Пользуясь различными вариантами метода исчерпывания, Архимед смог доказать различные теоремы, эквивалентные в современной записи соотношениям S = рr2 для площади круга, S = 4рr2 для поверхности шара и V = 4/3pr3 для его объема, теореме о том, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади треугольника, имеющего те же оcнование и высоту, что и сегмент, а также многие другие интересные теоремы.
АРХИМЕД
ок. 287-212 до н. э.
- древнегреческий математик и механик

Основоположники геометрии.
Автор труда «Начала» в 13 книгах, в котором изложены основы геометрии, теории чисел, метод определе-ния площадей и объёмов, включающий элементы теории пределов; оказал огромное влияние на развитие математики.
ЕВКЛИД
конец IV-III в. до н. э.
- древнегреческий математик
- древнегреческий математик

Основоположники геометрии.
Дал систематическое изложение основных достижений античности в математике и механике. Нашел формулы для определения площади геометрических фигур.
ГЕРОНА ФОРМУЛА - выражает площадь S треугольника через длины трех его сторон a, b и c и полупериметр p.
Точные даты рождения и смерти этого древнегреческого ученого и изобретателя из города Александрии неизвестны, поскольку арабские списки его трудов были переведены на современные языки только через 2000 лет после его смерти.
ГЕРОН
АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
около I века
- древнегреческий математик и механик

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ «ПЛОЩАДИ ФИГУР» НА ОСНОВЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Поскольку фигура называется простой, если она разбивается на конечное число плоских треугольников, то и формула площади любой простой фигуры может быть получена на основе площади треугольника. Сделаем это.

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ «ПЛОЩАДИ ФИГУР» НА ОСНОВЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
1. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА.
Так как площадь квадрата со стороной в 1 ед. равна S=1*1 кв. ед. (св-во 3),
то площадь прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1 ед. будет равна S= ½*1*1 кв. ед. (св-во 2).
1 кв. ед.
S=1*1 кв. ед.
1 ед.
S=1/2*1*1 кв. ед.
1/2 кв. ед.
1 ед.
1 ед.
1 ед.
1 ед.
1 ед.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Нетрудно доказать, что с увеличением одного из катетов в а раз площадь треугольника так же увеличится в а раз, т. е. станет равной S=1/2*а*1 кв. ед.,
Тогда с увеличением другого катета полученного треугольника в b раз его площадь увеличится еще и в b раз и станет равной S=1/2*а*b кв. ед.
1 ед.
а ед.
S=1/2*а*1 кв. ед.
а ед.
b ед.
S=1/2*а*b кв. ед.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Тогда площадь произвольного треугольника будет равна сумме площадей двух прямоугольных треугольников, на которые он разбивается высотой, опущенной на основание, т. е.
Таким образом, площадь любого треугольника вычисляется по формуле
h
a1
a2
S1
S2
S = S1 + S2 =
= 1/2*a1*h + 1/2*a2*h =
= 1/2*(a1 + a2)*h = 1/2*a*h.
а

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ «ПЛОЩАДИ ФИГУР» НА ОСНОВЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
2. ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА равна сумме площадей двух равных треугольников, на которые он разбивается его диагональю, т. е.
Таким образом,
И ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА, как частный случай параллелограмма, вычисляется по формуле:
h
а
S
S = 2*S1 = 2* 1/2ah = ah.
а
b

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ «ПЛОЩАДИ ФИГУР» НА ОСНОВЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
3. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ равна сумме площадей треугольников с основаниями a и b и общей высотой h, на которые она разбивается одной из ее диагоналей:
Таким образом, площадь трапеции вычисляется по формуле:
а
b
h
S
S = 1/2*ah + 1/2*bh =
= 1/2*(a + b)h.

ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ «ПЛОЩАДИ ФИГУР» НА ОСНОВЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
4. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА (выпуклого) равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается диагоналями, проведенными из какой-либо его вершины:
S
S
S
1
2
n-2
S
3
S = S + S + ... + S .
1
2
n-2

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКА

ТАБЛИЦА ФОРМУЛ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Треугольник
где a, b, c – стороны треугольника, р – полупериметр, r и R – радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей, γ – угол между сторонами а и b.

ТАБЛИЦА ФОРМУЛ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Параллелограмм
Формулы площади ромба видоизменяются по сравнению с формулами площади параллелограмма в связи с тем, что стороны ромба равны и диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Ромб

ТАБЛИЦА ФОРМУЛ ПЛОЩАДЕЙ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Трапеция
Произвольный четырехугольник
где d – диагональ трапеции (четырехугольника).

А КАК ПОСТУПИТЬ С КРУГОМ?
Круг не является простой фигурой, поэтому формула его площади имеет иррациональное число π:
и его части: круговой сектор
и круговой сегмент

СЛЕДУЕТ ОТДАТЬ ДОЛЖНОЕ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИМ МАТЕМАТИКАМ!

МЫ ХОДИМ ПО ПЛОЩАДЯМ
Над программой работали:
⮚ 1-я гр. Понятие площади (Макаров А.).
⮚ 2-я гр. Формулы площади треугольника (Маслова О., Борисов А.).
⮚ 3-я гр. Формулы площади четырехугольника (Прыгунов В., Мякотина Л., Ливадина М.).
⮚ 4-я гр. Вычисление площади произвольного многоугольника (Поладов М., Киряева Ю., Демченко А.).
⮚ 5-я гр. Формулы площади круга и его частей (Иванисова А., Избирян М.).
6-я гр. Основоположники теории площадей (Литвинов В., Кременева А., Шеховцова В.).
И УМЕЕМ ИХ ВЫЧИСЛЯТЬ!