Неравенства

Содержание
Неравенства с одной переменной
Линейные неравенства
Квадратные неравенства
Рациональные неравенства
Неравенства, содержащие знак модуля
Комбинированные неравенства

Неравенства вида
Где и - линейные функции, называются неравенствами с одной неизвестной.
Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Линейным неравенством называется неравенство вида (или )
Решая линейное неравенство вида , получим:
1 случай: тогда
2 случай: тогда
3 случай: , тогда
Если при этом то решений нет
Если , то

A1. Укажите наименьшее целое решение неравенства
Решение.
Ответ: - 3
1) – 5; 2) – 4; 3) – 3; 4) – 2;

Квадратными неравенствами называются неравенства вида
где x – переменная; a,b,c – действительные числа, причем a 0.
Способы решения
графический
аналитический

А1. Решите неравенство
Решение.
D = 49;
Построим эскиз графика функции
Из графика следует, что y<0, если
///////////////////
Ответ:
1) (-∞; ) (4;+∞); 2) ( ;4); 3) ; 4)
x
y

А2. Решите неравенство
Решение.
D < 0 => график функции
с осью абсцисс не
пересекается
Из графика следует, что y<0, если
Ответ:
1) (-∞;+∞); 2) – 0,5; 3) решений нет; 4) 5;
x
y

Рациональным неравенством называется неравенство вида
, , , ,
где , - многочлены
Основной метод решения – метод интервалов

При решении рациональных неравенств методом интервалов нужно:
все члены неравенства перенести в левую часть; если неравенство дробно – рациональное, то привести левую часть к общему знаменателю;
найти все значения переменной, при которых числитель и знаменатель обращаются в 0;
нанести найденные точки на числовую прямую, разбивая ее при этом на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак;
определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);
определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точу знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечетной степени кратности; при переходе через точку четной кратности знак сохраняется;
множеством решений неравенства является объединение интервалов с соответствующим знаком функции. В случае нестрогого неравенства к этому множеству добавляются корни числителя.

A1. Найдите наименьшее целое решение неравенства
-4
3
7
x
-
+
-
+
/////////////////////////
/////////////////////
1) -5
2) -4
3) -3
4) -1
Решение.
Ответ: -4

А2. Укажите число целых решений неравенства
Решение.
-2
2
4
-
+
-
+
/////////////////////////
//////////////////////////////
-2; -1; 0; 1; 3; 4 – целые решения неравенств
Ответ: 6
x
1) 7; 2) 5; 3) 6;
4) целых решений бесконечно много

В1. Найдите сумму целых решений неравенства
Решение.
-3
3
-
+
-
+
/////////////////
////////////////
1
+
-3 + (-2) + (-1) + 2 + 3 = -1
Ответ: -1
x
3; -2; -1; 2; 3 – целые решения неравенства.

В2. Укажите сумму целых чисел, не являющихся решением неравенства
Решение.
-1
1
-
+
-
+
////////////
////////////////
+
x
//////////////////
-1; 0; 1 – целые числа, не являющиеся решениями неравенства
-1+ 0 + 1 = 0
Ответ: 0

С1. Решите неравенство
Решение.
-7
2
+
+
-
+
///////////////
1
+
x
-1
Ответ:

С2. Решите неравенство
Решение.
Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему
знаменателю:
-2
5
+
+
-
+
/////////////
-1
-
x
-1,25
1
-
////////////
///////////////
Ответ:

С3. Решите неравенство
Решение.
Пусть
, тогда
-1
5
+
-
+
///////////////////////////
/////////////////////////////////////
t
или
1)
-2
-1
+
-
+
x
//////////
2)
-4
1
+
-
+
x
//////////
или
Ответ:
//////////

С4. Решите неравенство
Решение.
Пусть
, тогда
+
-
+
/////////////////////
///////////////////////
t
-
-3,25
-1
2
t < -3,5 или -1 < t < 2

1)
2)
решений нет;
Ответ: ( - 2; 1)

Неравенства, содержащие знак модуля
если
если
где и - некоторые функции

А1. Найдите число целых решений неравенства
Решение.
0; 1; 2; 3 – целые решения неравенства
Ответ: 4
1) 3; 2) 4; 3) 5;
4) целых решений бесконечно много.

А2. Решите неравенство
Решение.
Так как , то исходное неравенство решений не имеет
Ответ: решений нет
4) решений нет

А3. Решите неравенство
1)Решений нет
3)(-1;1)
Решение.
Так как , то исходное неравенство справедливо
для любого действительного x
Ответ: (-∞;+∞)

С1. Решите неравенство
Решение.
-5
2
+
-
+
x
/////////
/////////////
-1
4
+
-
+
x
/////////////////
/////
Ответ:
или

C2. Решите неравенство
Решение.
Так как
для всех x, то
1
3
+
-
+
x
//////////
1
Ответ: 1
Применим формулу разности квадратов

С3. Решите неравенство
Решение.
+
-
-
-
+
+
-2
2
X + 2
X - 2
Решим неравенство в каждом из трех промежутков
1)
2)
Используем метод интервалов для модулей

3)
Ответ:

С4. Решите неравенство
Решение.
Построим графики функций
и
y = f (x)
y = f (x)
y
x
2
1
6
График функции f(x) расположен ниже графика функции g(x) при
Ответ: ( 0; 6)
0
9
Найдем абсциссы точек пересечения графиков

B1.
Найдите количество целочисленных решений неравенства
Решение.
Так как при , то
-2
5
+
-
+
x
//////////
- 2; -1; 0; 1; 2 - целые решения неравенства
Ответ: 5

В2.Найти количество целочисленных решений неравенства
Решение.
1
5
x
-
+
+
////////////////////
1; 2; 3; 4; 5 – целые решения неравенства
Условию
удовлетворяют числа 2 и 4
Ответ: 2

С1.Найдите все значения x, для которых точки графика функции
лежат выше соответствующих точек графика функции
Составим неравенство, которому удовлетворяют значения x:
Найдем те точки, в которых обращаются в ноль числитель и знаменатель дроби:
б)
а)
Решим данное неравенство методом интервалов
Решение.

1,7
-
-
+
////////////////
+
x
////////////////
1,5
0
Ответ:
Запишем неравенство в виде
x<0; 1,5

С2. Решите неравенство
Решение.
ОДЗ: x > 0;
пусть
тогда