Объем фигур в пространстве

Обобщенный цилиндр
Пусть α и π - две параллельные плоскости, l - пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной из этих плоскостей, F’ – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F’ называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра.
В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным.
Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

Объем обобщенного цилиндра
Теорема. Объем прямого обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула
Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула
где a, b, c – ребра параллелепипеда.
где S – площадь основания, h – высота призмы.
Следствие 3. Объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле

Упражнение 1
Может ли объем фигуры в пространстве быть: а) отрицательным числом; б) нулем?
Ответ: а) Нет;
б) да.

Упражнение 2
Диагональ куба равна 2 см. Найдите его объем.

Упражнение 3
Чему равен объем пространственного креста, если ребра образующих его кубов равны единице?
Ответ: Семь куб. ед.

Упражнение 4
Чему равен объем фигуры, изображенной на рисунке?
Ответ: Три куб. ед.

Упражнение 5
Дан куб с ребром 3 см. В каждой грани проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем оставшейся части.
Ответ: 20 см3.

Упражнение 6
Как относятся объемы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 3; в) 1 : n?
Ответ: а) 1 : 8;
б) 1 : 27;
в) 1 : n3.

Упражнение 7
Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Определите ребро куба.
Ответ: 3 см.

Упражнение 8
В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 5 см и образуют угол в 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этого параллелепипеда.
Ответ: 140 см3.

Упражнение 9
Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно из его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз?
Ответ: а) Увеличится в 2 раза, в 3 раза, в n раз;
б) увеличится в 4 раза, в 9 раза, в n2 раз;
в) увеличится в 8 раз, в 27 раз, в n3 раз.

Упражнение 10
Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со стороной 1 см. Найдите объем цилиндра.

Упражнение 11
Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?
Ответ: Та, которая шире.

Упражнение 12
Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра.

Упражнение 13
Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной a.
Ответ: π⋅a3.

Упражнение 14
Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон a и b. Как относятся объемы цилиндров?
Ответ: a : b.

Упражнение 15
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы.
Ответ: 60 см3.

Упражнение 16
Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой 5 см и высота 8 см.
Ответ: 200 см3.

Упражнение 17
Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см и объем 4800 см3.
Ответ: 12 см.

Упражнение 18
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы?
Ответ: 1 : 3.

Упражнение 19
Основание прямой призмы - ромб, площадь которого равна 1 м2. Площади диагональных сечений равны 3 м2 и 6 м2. Найдите объем призмы.
Ответ: 3 м3.

Упражнение 20
Найдите формулу объема правильной n-угольной призмы, высота которой равна h, а сторона основания равна a.

Упражнение 21
Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Упражнение 22
Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?
Ответ: В 2 раза.

Упражнение 23
В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?
Ответ: 243π см3.

Упражнение 24
Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра проведена плоскость под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью.
Ответ: πR3tgϕ.