Обобщающий урок по темеФормулы сокращенного умножения

Историческая страница

Число – арифмос (греч.)
Геометрия –
гео – земля (греч.), метрео – меряю (греч.)
Аль джебр – восстановление (арабск.)

Евклид. «Начала». Издание 1482 г.

Евклид. «Начала».
«Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенный площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка.»
Суть этой фразы в формуле
(а + b)2 = a2 + 2ab + b2

Изобразить эту формулу геометрически можно так:

Три способа формулировки математических утверждений:
Словесный – понятный, но длинный, неудобный;
Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычисления;
Символьный – краткий, легко запоминающийся.

Аль джебр – восстановление (арабск.)
algebr

Тренировочные упражнения

Составьте по описанию алгебраические выражения:
Сумма квадратов чисел а и b.
Разность между числом m и удвоенной суммой чисел а и b.
Квадрат разности чисел b и а.
Разность квадратов чисел а и b, умноженная на сумму этих чисел.

Запишите в виде степени выражения:

Найдите неизвестное х:
(24)х = 212;
10х = 10000;
53 ⋅ 54 = 52 + х;
0,1х = 0,01.

Заполните пропуски в формулах:
(а +…)2 = … + 2аb + … ;
(а … b)… = а2 – 2аb + … ;
а3 - … = (а – b)(… + аb + …);
а3 + b3 = (… …)(а2 … + b2);
а2 – b2 = (… b)(а – …).

Расширение знаний по формулам сокращенного умножения

(а + b + с)2 =
а2 + b2 + с2 + 2аb + 2ас + 2bс
Геометрическое доказательство

Найдите квадрат выражения:
а) (а – х + у)2
б) (а – b – с)2

Треугольник Паскаля

Блез Паскаль (1623 – 1662)

Рассмотрим двучлены:
(а + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Составим таблицу из их коэффициентов:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1

Закон образования коэффициентов
1 - 20
1 1 - 21
1 2 1 - 22
1 3 3 1 - 23

Вариации числа 100

Рассмотрим комбинации числа 100:

Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство 102 = 100 было верным.

Примеры вариантов некоторых формул:
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab
а2 = (a – b)(a + b) + b2

Вычисление квадрата числа

a2 = а2 – b2 + b2 = (a – b)(a + b) + b2, где b – дополнение числа а до круглого числа.
Пример.
Вычислите 9862
1. Круглое число 1000.
а = 986, b = 14, а + b = 1000, a – b = 972.
2. 9862 = 972 ⋅ 1000 + 142 = 972000 + 196 = 972196.

Вычислите:
1) 1952
2) 4882

Математический софизм

Докажем, что 4 = 5.

Домашнее задание
1. Обратите внимание на пирамиды чисел:
а) 1 ⋅ 8 + 1 = 9, 12 ⋅ 8 + 2 = 98, 123 ⋅ 8 + 3 = 987.
А как дальше?
б) 12 = 1, 112 = 121, 1112 = ?
2. Возведите в степень:
а) (2а – b + c)2; б) (а + b)4.
3. Вычислите: а) 9762; б) 2952.

…Мне мудрость не чужда была земная, Разгадки тайн ища, не ведал сна я. За семьдесят перевалило мне, Что ж я узнал! - Что ничего не знаю.
Омар Хайям