Определенный интеграл

Элементы интегрального исчисления
1.Определение определенного интеграла
2.Основные свойства определенного интеграла
3.Формула Ньютона-Лейбница
4.Методы интегрирования
5.Геометрические приложения определенного интеграла
6.Несобственные интегралы.

Определенный интеграл, его свойства и вычисление

Понятие определенного интеграла
Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную и ограниченную на отрезке [a,b]. Разобьем [a,b] на n элементарных отрезков ∆xi произвольной длины, возьмем на каждом отрезке ∆xi произвольную точку ci и вычислим значение функции f(ci) в этих точках.

Геометрическое изображение определения

Определение интегральной суммы
Интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] называется сумма произведений длин элементарных отрезков ∆xi на значения функции f(ci) в произвольных точках этих отрезков

Определение определенного интеграла
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел (если он существует) интегральной суммы для функции f(x) на отрезке [a,b], не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci, найденный при условии, что длины элементарных отрезков (включая и максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.

Геометрический смысл определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла
10 Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования (инвариантность):
20 При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный (перестановочность):

Основные свойства определенного интеграла
30 Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам (аддитивность):

Основные свойства определенного интеграла
40 Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций (линейность):

Основные свойства определенного интеграла
50. Если подынтегральная функция f(x) на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то определенный интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, при условии b>a (монотонность):
если sgn(f(x))=const, то и sgn
= sgn(f(x)).
60. Модуль интеграла функции не превосходит интеграл от модуля функции (неравенство по модулю)

Основные свойства определенного интеграла
70. Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке x=c отрезка интегрирования [a,b] на длину отрезка b-a (теорема о среднем значении функции):
Значение f(c) называется средним значением функции на отрезке [a,b]

Теорема о среднем значении функции

Формула Ньютона-Лейбница.
Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование
Этот способ основан на использовании свойств определенного интеграла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тождественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.
Вычислить определенный интеграл:
.

Замена переменной
Вычислить
.

Интегрирование по частям
Вычислить
.

Вспомогательная таблица для интегрирования по частям