Организация исследовательской работы на уроках математики

Сравним структуру типовой и проблемной задач.

Пример:
Задача № 1.
Исследуйте, как влияет на график изменение одного из коэффициентов а,b,с в уравнении параболы y = ax + bx + c. Для этого в одной системе координат начертите параболы:
y = x - 4x + c для с = 0; 1; 2; 4 и с = -1; -2;
y = x + bx + 4 для b = 0; 1; 4; 5 и b = -1; -4; -5;
y = ax + 4x + 5 для а = 0,5; 1; 2; 4.
Сделать выводы.

Исследование:
y= x - 4x+c
y
x
2
-4
0
C=1
C=0
1
C=2
-2
C=4
C=-2
-6
Ось симметрии x=0

Выводы:
Вершины всех парабол лежат на одной и той же вертикальной прямой (х=2). При увеличении с парабола сдвигается вдоль этой вертикали вверх, а при уменьшении – вниз. (Все параболы «равны» между собой, так как коэффициент а один и тот же.)

Исследование:
y= x + b x+4
b=0, y=x +4
b=1, y=x +x+4
b=4, y=x +4x+4
b=5, y=x +5x+4
b=-4,y=x -4x+4
b=-5, y=x -5x+4
4
y
x
0,5
-2
-2,5
2
2,5

Выводы:
При b =0 имеем формулу y=x²+4, т.е параболу, симметричную относительно оси y; ее вершина – точка (0;4). С изменением b вершины парабол смещаются (однако все графики проходят через точку (0;4)). Если b – число положительное, то с увеличением b вершина смещается влево и вниз; если b – число отрицательное, то с увеличением |b| вершина смещается вправо и вниз. (Все параболы «равны» между собой, так как коэффициент при х² один и тот же.)

Исследование:
y=a x +4x+5
a=0,5, y=0,5x +4x+5
a=1, y=x +4x+5
a=2, y=x +4x+5
a=4, y=4x +4x+5
y
x
-3
-4
5
-1
-2
3
4

Выводы:
Так как предлагается провести наблюдение для положительных значений a, то и вывод будет сделан лишь для a>0. При увеличении a меняется форма параболы; она становится «круче». Вершины парабол перемещаются вправо и вверх, оставаясь при этом левее оси y и ниже прямой y=-5

Задача №2.
На рисунке изображен график функции у = ах2 + bх + с. Определите знаки коэффициентов а, b, с.

Структура исследовательской работы отражена на рис. 1.
Изучение объекта в математике целесообразно вести в такой последовательности (Белова Г.В., 2003):
определение;
элементы (основные и дополнительные);
свойства;
признаки (в математике признак - это необходимые и достаточные условия существования объекта);
применение.
Параллельно идет освоение различных этапов учебной исследовательской работы:
сбора информационного фонда;
его анализа;
построения и применения моделей,
представления и внедрения результатов исследования.