Отрезки

1.Задача.
На прямой отмети-ли точки А, В, С и D. Сколько отрез-ков изображено на этой прямой?

2.Проблема.
Как зависит количество отрезков на прямой от числа точек, отмеченных на ней?

3. Пробы

4. Таблица результатов

5.Гипотезы.
I. Каждое следующее число отрезков хn равняется предыдущему числу отрезков xn-1, сложенному с числом точек, соответствующих ему:
Значит,
Пробы I II III IV V
Число точек (n) 1 2 3 4 5
Число отрезков (хn) 0 1 3 6 10

5.Гипотезы.
II. Каждое следующее число хn равняется половине произведения соответствующего ему числа n и предыдущего числа n-1 точек:
Значит,

5.Гипотезы.
III. Каждое следующее число хn равняется сумме всех натуральных чисел, предшествующих числу n :
Значит,
Пробы I II III IV V
Число точек (n) 1 2 3 4 5
Число отрезков (хn) 0 1 3 6 10

IV. Каждое следующее число хn , начиная с четвертого, полу-чается путем последовательного удвоения нечетных чи-
сел натурального ряда 3, 5, …:
Значит,
Пробы I II III IV V
Число точек (n) 1 2 3 4 5
Число отрезков (хn) 0 1 3 6 10
5.Гипотезы.

6. Проверка гипотез.
Пусть n=6 (рис. 3). Тогда:
а) фактическое число отрезков х6 =15;

6. Проверка гипотез.
б) число отрезков согласно гипотезы:
I.
II.
III.
IV.

7. Доказательство гипотез.
1). Гипотеза I равносильна гипотезе III:

7. Доказательство гипотез.
2). Гипотеза II равносильна гипотезе III: