П а р а б о л а

Арифметическая прогрессия

Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строенье звезд и вся Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
«Прогрессио- движение вперед».

Из истории Арифметической прогрессии

Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков.
Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца XVIII–XVII веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

«Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры»
Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число.
Треугольное число - это и есть сумма
n-первых членов арифметической
прогрессии.
Задачи из папируса Ахмеса или Райнда

Фигурные числа
Фигурные числа были известны еще в Древнем Вавилоне. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Увлеклись, причем независимо друг от друга, нахождением таких чисел Б. Паскаль и П. Ферма.
Блез Паскаль
Пьер Ферма

d=1
1;2;3;4;…
d=3
1;4;7;10;…
d=2
1;3;5;7;…

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn в истории выводилась неоднократно и разными способами.
Способ пифагорейцев
Треугольник, образованный первыми n натуральными числами, является половиной прямоугольника со сторонами n и (n + 1), следовательно, сумма первых n натуральных чисел равна ((n + 1)n)/2.

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Ф.Гаусса.
В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царем математики»
К.Ф.Гаусс

Древнейшая задача о делении хлеба
Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому?
Решение:
Пусть у- разность арифметической прогрессии, тогда
доля первого – х; доля второго – (х + у);
доля третьего – (х + 2у); доля четвертого – ( х + 3у); доля пятого – (х + 4у).
По условию задачи составим систему уравнений:

Следовательно, хлеб должен быть разделен на следующие части:

Индийский астроном и математик Ариабхата (V в.) применял формулы общего числа, суммы n членов арифметической прогрессии.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении итальянского математика Леонардо Пизанского «Книга абака» 1202г.

Арифметическая прогрессия
Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
Число d - разность прогрессии
d = a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 =….

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …
арифметическая прогрессия d = 3
арифметическая прогрессия d = – 2
геометрическая прогрессия q = 3
последовательность чисел
геометрическая прогрессия q = 2
последовательность чисел

Формула n-го члена арифметической прогрессии
an=a1+d(n-1)
Дано: a1 = 7, d = 5
Найти: a4
a4=22

Арифметическая прогрессия
Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии
Характеристическое свойство
х1, х2, 4, х4,14, …
найти: х4
Х4=9

Формулы суммы n первых членов прогрессий
Дано: a1 = 5, d = 4
Найти: S5
S5 = 65
арифметическая

1. Про арифметическую прогрессию (аn)
известно, что а7 = 8, а8 = 12. найдите
разность арифметической прогрессии.
А) -4
Б) 4
В) 20
Г) 3
2. Члены арифметической прогрессии изображены (рис.1) точками на координатной плоскости. Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
А) -7
В) 12
Г) 17
Б) 6
3. Сумма второго и пятого членов арифметической
прогрессии равна 11. Третий её член на 6 больше первого.
Найдите второй и четвёртый члены.
Ответ:
а2 =1; а4 = 7,

За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день?
Прогрессии в жизни, в быту и не только…

1.Решение:
S16=½ (2∙а1 + 3∙15) ∙16;
472 =16 а1 + 360;
а1 = (472- 360):16=7.
а16 =7+ 3 ∙ (16-1)=52.
Ответ: 52 коралла украл Карл в последний день.

В сборнике по подготовке к экзамену 240 задач. Ученик планирует начать их решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая каждый день на две задачи больше, чем в предыдущий день. Сколько задач ученик запланировал решить 12 мая?
Прогрессии в жизни, в быту и не только…

2.Решение:
240=½(2 а1 +2 ∙14) ∙ 15;
240:15= а1 + 14;
а1 = 2;
а11= 2+2 ∙ 10 = 22.
Ответ:22 задачи надо решить 12 мая.

В амфитеатре расположены 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?
Прогрессии в жизни, в быту и не только…

3.Решение:
280= а1 + 20∙(10-1);
а1= 280 - 20 ∙ 9 = 100;
S10 = ½(100+280) ∙ 10 =1900.
Ответ:1900 человек
вмещает амфитеатр.

Тест по теме
«Арифметическая прогрессия»
Пройдите за компьютеры. У вас 15 минут.
Успешного решения!

Домашнее задание
На «4»
Сборник ГИА Кузнецова Л.В.
№7.19-7.21 (2)
На «5»
Сборник ГИА Кузнецова Л.В.
№7.22,7.29, 7.30, 7.38 (2)
Творческое задание:
сделать подборку старинных или практических задач по теме «Прогрессии»

Оцените свои знания и умения на
конец урока. Был ли полезен урок
для каждого из вас? Чем?
Сегодня на уроке я
-узнал…
лучше научился…
смог, потому что…
у меня не получилось, потому что…
дома надо потренироваться…

Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Спасибо за урок!

I (слайд 2 ) Тему сегодняшнего урока мы узнаем, разгадав кроссворд:
1. Как называется график квадратичной функции?
2. Математическое предложение, справедливость которого доказывается.
3. Упорядоченная пара чисел, задающая положение точки на плоскости.
4. Наука, возникшая в глубокой древности в Вавилоне и Египте, а учащиеся России начинают её изучать с 7 класса.
5. Линия на плоскости, задаваемая уравнением у=кх+b.
6. Числовой промежуток.
7. Предложение, принимаемое без доказательства.
8. Результат сложения
9. Название второй координаты на плоскости.
10. Французский математик 19 века, «отец» алгебры, юрист, разгадал шифр, применяемый испанцами в войне с французами, а нам помог в быстром решении квадратных уравнений.
II (слайд 3) Итак, тема урока «Прогрессии». Прогрессия – латинское слово, означающее "движение вперед", было введено римским автором Боэцием.
- А почему во множественном числе? Какие знаете прогрессии?
Давайте сформулируем цели нашего урока.
Установи соответствие ответы:
1.- 3 7.- 4
2.- 18 8.- 15
3. - 2 9.- 8
4.- 14 10.- 1
5.- 7 11.- 10
6.- 12 12.-14
III (слайд 4 ) историческая справка ( д/з )
IV ( слайды 5-10 )
обобщение теоретического материала