Пересечение поверхностей. Начертательная геометрия. Часть 1

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна ПП
плоскость симметрии поверхностей не параллельна ПП

задачи

Содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

одновременно каждой из заданных поверхностей
линия пересечения двух поверхностей
пространственная кривая
которая
принадлежит

соединить их плавной линией
построить кривую пересечения
построить множество точек
одновременно каждой из заданных поверхностей
значит
которые
принадлежат
и

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

алгоритм построения линии пересечения поверхностей
1. анализ условия
какие поверхности заданы?
какое положение
относительно плоскостей проекций
занимает каждая поверхность?
общее
проецирующее

проецирующее положение
могут занимать прямой круговой цилиндр и прямая призма

да
нет
поверхность занимает
проецирующее положение
2. способ решения задачи
алгоритм построения линии пересечения поверхностей
да
метод проецирующего образа
метод
поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
нет
дано: цилиндр или призма

3. опорные точки
определить и построить проекции опорных точек
экстремальные точки
самая верхняя – самая нижняя;
самая правая – самая левая;
самая ближняя – самая дальняя
точки изменения видимости
точки, в которых кривая пересечения меняет видимость
на противоположную
обозначаются заглавными латинскими буквами
лежат на границах видимости заданной поверхности,
то есть на её очерках
точки с самой большой и самой маленькой координатами относительно плоскости проекций
алгоритм построения линии пересечения поверхностей

4. промежуточные точки
определить и построить проекции
промежуточных точек
обозначаются арабскими цифрами
дополнительные точки
для более точного построения линии пересечения
отмечаются на линии пересечения произвольно
алгоритм построения линии пересечения поверхностей

5. построение линии пересечения
и определение ее видимости
построенные проекции точек
соединить плавной линией
определить видимость линии пересечения
алгоритм построения линии пересечения поверхностей

6. очерки поверхности
обвести
очерки поверхностей
алгоритм построения линии пересечения поверхностей
с учетом видимости

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна
метод проецирующего образа

из условия принадлежности линии пересечения
непроецирующей поверхности
другая проекция линии пересечения
с вырожденной проекцией
проецирующей поверхности
одна проекция линии пересечения
совпадает
если поверхность занимает
проецирующее положение
то
строится
а
метод проецирующего образа

все точки и линии, принадлежащие поверхности,
в том числе и линия пересечения, проецируются на вырожденную проекцию поверхности
3) так как линия пересечения принадлежит и другой поверхности, то вторую ее проекцию можно построить
по принадлежности к поверхности общего положения
метод проецирующего образа
обоснование
данного способа построения линии пересечения
линия пересечения двух поверхностей одновременно принадлежит каждой из заданных поверхностей
2) так как одна из поверхностей занимает проецирующее положение, то имеется вырожденная проекция этой поверхности

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

по точкам
построить
недостающую проекцию
2 проекции
уже построены
обе поверхности
занимают проецирующее положение
с вырожденными проекциями
заданных поверхностей
2 проекции линии пересечения
совпадают

ОБЕ ПОВЕРХНОСТИ
ЗАНИМАЮТ ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
линия пересечения –
очерки цилиндров на П1 и П3
Задача решена

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников (способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

«вырез в теле»
1 проекция
уже построена
с вырожденной проекцией
проецирующей поверхности
одна проекция линии пересечения
совпадает
одна поверхность
занимает проецирующее положение
из условия принадлежности этой линии непроецирующей поверхности
недостающая проекция

ОДНА ПОВЕРХНОСТЬ
ЗАНИМАЕТ
ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
(цилиндр на п1)
граница видимости линии пересечения на п2
главный фронтальный меридиан полусферы
главный фронтальный меридиан цилиндра
опорные точки
промежуточные точки
Задача решена

на п2
линия пересечения
полусферы и призмы
строится по принадлежности
точек линии пересечения непроецирующей поверхности,
то есть сфере
граница видимости линии пересечения на п2
опорные точки
промежуточные точки
на п1
линия пересечения
полусферы и призмы
совпадает с очерком призмы
ОДНА ПОВЕРХНОСТЬ
ЗАНИМАЕТ
ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
(призма на п1)
решить до конца –
достроить точки,
получить линию пересечения

α2
на п3
ОДНА ПОВЕРХНОСТЬ ЗАНИМАЕТ ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
(очерк шестигранной призмы на п3 – вторая линия пересечения)
фронтально-проецирующая секущая плоскость
дает одну линию пересечения поверхностей
задача решена

на п1 и п2
линия пересечения
строится
по принадлежности
точек линии пересечения
конусу
Граница видимости линии пересечения на п2
на п2
на п1
опорные точки
промежуточные точки
ОДНА ПОВЕРХНОСТЬ
ЗАНИМАЕТ
ПРОЕЦИРУЮЩЕЕ ПОЛОЖЕНИЕ
(трехгранная призма на П3)
построить очерки
конуса и призмы на П3
линия пересечения –
очерк призмы на П3
решить до конца –
достроить проекции точек на п1 и п2,
получить линию пересечения

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

обе пересекающиеся поверхности занимают
общее положение
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
применяют
если

алгоритм построения линии пересечения поверхностей методом поверхностей-посредников
искомая линия пересечения поверхностей
полученное множество точек соединить плавной линией
пересечение линий n и m дает точки А и В –
пару искомых точек
построить линию пересечения поверхности Σ
с заданной поверхностью Φ (кривую n)
построить линию пересечения поверхности Σ
с заданной поверхностью Ψ (кривую m)
Σ ∩ Φ = n
Σ ∩ Ψ = m
ввести вспомогательную поверхность-посредник Σ
n ∩ m ={А; B}
повторить необходимое число раз

метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
по прямым
по окружностям
вспомогательная
поверхность-посредник
должна пересекать
заданные поверхности
по графически простым линиям
выбор поверхностей-посредников

секущие плоскости
секущие сферы
способ вспомогательных секущих плоскостей
способ вспомогательных секущих сфер
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
вспомогательные
поверхности-посредники

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

α2
α1
α
α3
заданные поверхности пересекаются вспомогательной
плоскостью-посредником
способ вспомогательных секущих плоскостей
точки пересечения полученных линий
точки искомой линии пересечения конуса и сферы

обвести очерки поверхностей
соединить полученные точки с учетом видимости
повторить п. 1 – п. 3
несколько раз
алгоритм построения
способ вспомогательных секущих плоскостей
точки линии пересечения поверхностей
3. отметить точки пересечения полученных линий
2. построить линии пересечения плоскости-посредника
с заданными поверхностями
1. поверхности пересечь вспомогательной плоскостью-посредником

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

γэкв2
γI2
γII2
γгм1
А2
В2
12=(1I2)
22=(2I2)
32 =(3I2)
1I1
11
А1
CI1
3I1
B1
C1
31
Построить линию пересечения конуса и сферы
γIII2
опорные точки
точки пересечения очерков на П2 – самые верхняя и низшая
s
s
промежуточные точки находят
по алгоритму для способа
секущих плоскостей
Rк2
Rсф
точки на экваторе сферы– точки смены видимости на П1
Rк1
C2=(CI2)
2I1
21
СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
общая плоскость симметрии

содержание лекции
линия пересечения двух поверхностей
общие сведения о методах построения линии пересечения двух поверхностей
алгоритм решения задачи на построение линии пересечения поверхностей
метод проецирующего образа
методы построения линии пересечения двух поверхностей
метод поверхностей-посредников
(способ вспомогательных секущих поверхностей)
одна поверхность занимает проецирующее положение
обе поверхности занимают проецирующее положение
способ вспомогательных секущих плоскостей
плоскость симметрии поверхностей параллельна
плоскость симметрии поверхностей не параллельна

найти наивысшую точку линии пересечения тора с конусом – точка пересечения их очерков на П4
СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ
остальные точки определяются
способом вспомогательных секущих плоскостей
на п2
спроецировать очерки
тора и конуса на П4
Общая плоскость симметрии