Первичные описательные статистики

Задача
Возраст педагогических работников (в годах):
18; 38; 40; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 49; 37; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29; 52; 58; 44; 39; 57; 19; 25.
Насколько молод коллектив?

Меры центральной тенденции
Мода (Мо) - значение, которое чаще других встречается в выборке.
Если все значения встречаются одинаково часто — мода отсутствует
Если два соседних значения имеют одинаковую частоту — мода между ними
Выборка считается бимодальной, если два несмежных значения имеют наибольшую частоту

Меры центральной тенденции: Мода
В интервальном вариационном ряду:
1)Данные уже сгруппированы в интервалы
2) Найти интервал с максимальной частотой — модальный
3) Считать моду по формуле:
Xmo — нижняя граница модального интервала;
h — ширина интервала;
m — частоты модального, премодального и постмодального интервалов
В безинтервальном вариационном ряду:
1) Установить соотвествие между значениями Х и их частотой
2) Самое частое значение, или
Mo=Xi
При условии mxi >∀mx≠xi

Меры центральной тенденции
Медиана (Md) - значение признака, которое делит ранжированное множество данных пополам так, что одна половина оказывается меньше медианы, а другая — больше
Если объем выборки — нечетное число, то медиана…
Если объем выборки четное число, то медиана…

Меры центральной тенденции: Медиана
В интервальном вариационном ряду:
1) Если данные уже сгруппированы в интервалы,
2) Найти медианный интервал, в котором накопленная относительная частота пересекает отметку в 50%
3) Считать медиану по формуле:
Xmе - нижняя граница модального интервала;
N - объем выборки;
Mme-1 - накопленная частота интервала перед медианным
h - ширина интервала;
mме - частота медианного интервала
В безинтервальном вариационном ряду:
1) Расположить все значения по возрастанию
2) Медианой будет значение, находящееся в точном центре ряда.
Me=Xi при условии i=(N+1)/2

Меры центральной тенденции
Среднее арифметическое - частное от деления всех значений (Хi) на их количество (N)
X=
Свойства среднего:
1) если к каждому значению прибавить число С, то среднее тоже увеличится на число С;
2) если каждое значение умножить на С, то среднее увеличится в С раз

Выбор меры центральной тенденции
«Средняя температура по больнице?»
Мода и медиана «не чувствительны» к выбросам (на них не влияет отдельное большое или малое значение);
Мода нестабильна в малых выборках;
Среднее содержит погрешности на малых выборках с несимметричным распределением
Для характеристики малой выборки выбирайте медиану!

Меры изменчивости
Размах (Р) – интервал между максимальным и минимальным значениями признака
выборка: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9}
Размах=8 N=10
Р = Хмах-Хмин

Меры изменчивости
Среднее абсолютное отклонение (mad) – это среднеарифметическое разницы (по абсолютной величине) между каждым значением в выборке и ее средним
mad=
где d = |xi – М| - модуль расстояния;
М – среднее или медиана выборки;
xi – конкретное значение;
N – объем выборки

Меры изменчивости
Дисперсия (S²) — мера изменчивости, пропорциональная сумме квадратов отклонений значений от среднего
S²= , для больших выборок
S²= , для малых выборок (>30чел)

Свойства дисперсии
Если все значения равны друг другу, дисперсия равна 0 (нет рассеяния признака);
Если ко всем значениям прибавить число С, это не поменяет дисперсию;
Увеличение всех значений в С раз увеличивает дисперсию в С2 раз
Применима только для данных метрических шкал! (т.к. является мерой расстояния)

Меры изменчивости
Стандартное отклонение (s) или (Sn) — мера изменчивости, являющаяся положительным значением квадратного корня из дисперсии
Для больших выборок
Для малых выборок
Всегда выражается в исходных единицах признака, в отличие от дисперсии

Асимметрия и эксцесс
Асимметрия и эксцесс характеризуют распределение
признака в выборке, являются 3 и 4 моментами среднего
Показатели асимметрии и эксцесса.
А= Е=
Свойства асимметрии и эксцесса:
Если А>0 существенно, то среднее>медианы>моды и наоборот, при отрицательной асимметрии Мо>Ме>М
Если Е>0 существенно, то распределение выборки островершинное (большее количество людей набирает близкие к моде баллы); а при Е<0 распределение плосковершинное — т.е больше людей «рассеяны» от центра

Меры положения
Квантиль — точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность измерений на две группы с известным соотношением численности.
Квартили — 3 точки — значения признака, которые делят сортированное по возрастанию множество значений на 4 равных интервала (по 25% выборки в каждом). 2-й квартиль — это медиана.
Процентили - 99 точек - значений признака.... (аналогично делят на отрезки по 1%)
См. накопленные относительные частоты, чтобы понять, каким квантилем является конкретное значение

Какие описательные статистики можно применять…
НА ШКАЛЕ НАИМЕНОВАНИЙ?
НА РАНГОВОЙ ШКАЛЕ?
НА ШКАЛЕ ИНТЕРВАЛОВ?
НА ШКАЛЕ РАВНЫХ ОТНОШЕНИЙ?