Площади

Понятие площади многоугольника
Площадь многоугольника –
это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площади
принимают площадь квадрата,
сторона которого равна единице измерения отрезков.
1
1
Единицы измерения площади
1 дм2= 100 см2; 1м2 = 10 000 см2
1 см2 = 100 мм2; 1 м2 = 100 дм2
S = 1 кв. ед.

Это число показывает
сколько раз единица измерения площади и её части
укладываются в данном многоугольнике.
Палетка
Многоугольник
+
Измерение площади палеткой
Площадь многоугольника выражается положительным числом.
10
+
16
≈
18 (кв. ед.)

a
b
1. Равные многоугольники имеют равные площади.
a
b
Свойства площадей
Палетка
S1
S2
=

1. Равные многоугольники имеют равные площади.
Свойства площадей
Палетка
S1
S2
=
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
S1
S2
S3
S
=
S
S1
S2
S3
+
+

1. Равные многоугольники имеют равные площади.
Свойства площадей
Палетка
S1
S2
=
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
=
S
S1
S2
S3
+
+
3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
S=9
a=3
S=a2

№1. На продолжении стороны DC параллелограмма ABCD за точку C отмечена точка M так, что DC=CM.
Доказать, что SABCD=SAMD
Примеры решения задач (1)
B
D
M
C
A
K
Дано:
ABCD – параллелограмм
MC = CD
Доказать:
SABCD = SAMD
Решение:
Обозначим точку пересечения отрезков AM и BC точкой K.
Параллелограмм ABCD состоит из двух фигур: треугольника ABK и трапеции AKCD.
Треугольник AMD состоит из двух фигур: треугольника KMC и трапеции AKCD.
Значит, по свойству площадей
SABCD=SABK+SAKCD
SAMD=SKMC+SAKCD
Рассмотрим ΔABK и ΔKMC
MC=CD (по условию)
AB=CD (как противоположные стороны параллелограмма)
Значит, MC=AB
AB║DC, следовательно, ∠ABK = ∠KMC как накрест лежащие при секущей BC.
BK=KC (по теореме Фалеса)
Следовательно, ΔABK = Δ MCK,
следовательно, SABK=SMCK,
следовательно, SABCD=SAMD

Примеры решения задач (2)
№2. Составить формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на чертеже
№3. На продолжении стороны квадрата AD квадрата ABCD за вершину A взята точка M,
MC=20 дм, ∠ CMD=300.
Найти площадь квадрата.

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна
произведению его смежных сторон.
b
Дано:
a, b – стороны прямоугольника
Доказать:
S = ab
a
S
S
Sкв = (a + b)2
S
b
b
a
a
b
a
кв
S = ab
Sкв = S1 + 2S + S2
S1 = b2, S2 = a2
(a + b)2 = b2 + 2S + a2
a2
Доказательство:
+
2ab
+
b2
=
b2
+
2S
+
a2

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна
произведению стороны на высоту, к ней проведенную.
B
D
C
A
S = AD·BK
S = CD·BM
K
M

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна
произведению стороны на высоту, к ней проведенную.
B
D
C
A
S = AD·BK
K
Доказать:
Доказательство:
M
BK = CM (почему?)
ABCM - трапеция (почему?)
S – площадь параллелограмма ABCD
S1 – площадь треугольника ABK
S2 – площадь треугольника DCM
S3 – площадь прямоугольника KBCM
S4 – площадь трапеции ABCM
S4 = S1 + S3
по свойству площадей
или
S4 = S + S2
S1 + S3 = S + S2
S2
S1
S3
S
Докажите, что S1 = S2
S3 = S
S3 = BC·BK
Значит, и S = BC·BK
Но BC = AD
Поэтому S = AD·BK
S = a·h
a
h

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна
половине произведения стороны на высоту, к ней проведенную.
B
C
D
A
Доказательство:
1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC.
b
h
c
a
2. Докажите, что ΔABC = ΔBDC
3. Что можно сказать о площадях этих треугольников?
4. Чему равна площадь параллелограмма ABDC?
5. Сравните площади параллелограмма ABDC и треугольника ABC.
6.
H

Частные случаи площади треугольника
Площадь прямоугольного треугольника
B
C
A
b
a
BC - высота ΔABC
AC и BC – катеты прямоугольного треугольника ΔABC,
AC = b, BC = a
значит,
Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов.

Частные случаи площади треугольника
Площади треугольников с одинаковой высотой
a
Сделайте вывод:
Отношение площадей треугольников, имеющих равную высоту равно
Найдите отношение площадей:
отношению их оснований.
Треугольники, изображенные выше имеют одинаковую высоту h и
разные основания.
Площади каждого треугольника равны:
b
h
h
h
h
c
d
1
2
3
4
…

S1
Частные случаи площади треугольника
Если треугольники имеют равные углы, то их площади относятся, как произведения сторон, содержащих эти углы.
1. Наложим треугольники, совместив равные углы.
A
C
B
S
2. Проведем отрезок BC1.
Получили вспомогательный треугольник ABC1.
3. У треугольников ABC1. и A1B1C1 одна высота C1K.
K
Следовательно,
4. У треугольников ABC1. и ABC одна высота BM.
M
Следовательно,
5. Найдем произведение этих отношений площадей: