Подготовка к ЕГЭ 2012 Решение задач С3

4x-3y=5
256x4 +81y4=97
Замена : Пусть 4x=U ; -3y=V ,тогда:
U+V=5
U4+V4=97
U4+V4=(U2 +V2)2-2U2V2
U4+V4=((V+U)-2VU)2-2V2U2
Пусть α=U+V; β=UV
U4+V4=(α2-2β)2-2β2
U4+V4=α4-4α2β+2β2

Подставим α=5, во 2-е уравнение:
α=5
α4-4α2β+2β2=97
α=5
β2-50β+264=0
β2-50β+264=0
D/4=625-264=361
Β1=25+19=44
Β2=25-19=6
α=5
β=44
β=6
α=5
β=6
α=5
β=44
Обратная замена:

U+V=5
UV=6
U+V=5
UV=44
U=5-V
5V-V2=6
U=5-V
5V-V2=44
U=5-V
V2-5V+6=0
U=5-V
V2-5V+44=0
U=5-V
V=3
V=2
U=5-V
V2-5V+44
(1) V2-5V+6=0
D=25-24=1
V1=5+1/2=3
V2=5-1/2=2
(2) V2-5V+44=0
D=25-176=-151
D‹0,корней нет
U=2
V=3
U=3
V=2
Обратная замена:

4x=2
-3y=3
4x=3
-3y=2
x=1/2
y=-1
x=3/4
y=-2/3
Ответ: (1/2 ; -1) и (3/4 ; -2/3)