Построение фигур одним росчерком карандаша

1. Постановка проблемной ситуации.
2. Объяснение нового материала.
3. Упражнения для закрепления
5. Домашняя работа.
Ход занятия
а) вычерчивание фигур;
б) решение задач;
а) вычерчивание фигур;
б) решение задач.
4. Физминутка.

Попробуйте, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды, начертить «открытый конверт».
Для решения задач, подобных этой, существуют признаки, по которым заранее не сложно установить, можно ли данную фигуру начертить одним росчерком или нет.
Если можно, то с какой точки следует начинать вычерчивание?
Изучением этих признаков и их обоснованием занимается наука
топология.

раздел математики, изучающий такие свойства фигур, которые не меняются при любых деформациях, производимых без рызрывов и склеиваний.
Топология

С точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы. А круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются по сути одной и той же фигурой.

Условимся называть точки, в которых сходится четное количество линий, четными, а точки, в которых сходится нечетное число линий, - нечетными.

Признаки вычерчивания фигур одним росчерком:
если нечетных точек в фигуре нет, то ее можно начертить одним росчерком, начиная вычерчивать с любого места;
если в фигуре две нечетные точки (если фигура имеет нечетную точку, то она всегда имеет и вторую нечетную точку), то ее можно начертить одним росчерком, начав вычерчивание в одной из нечетных точек и закончив в другой;
если в фигуре более двух нечетных точек, то ее нельзя вычертить одним росчерком.

Попробуй начертить самостоятельно
Давай
проверим!

Определите, какие из фигур можно начертить не отрывая карандаш от бумаги
(и не проводя по одной линии дважды).
признаки вычерчивания
задачи
физминутка

Только что приобретенные вами знания имеют порой любопытное применение.
Великий математик Л. Эйлер в 1736 г.
занимался решением такой своеобразной
задачи:
№1

В Кенигсберге река, омывающая два острова, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза?
Решение
№ 1
№ 2

Составим схему к решению задачи
Из рисунка видно, что у полученной фигуры четыре нечетные вершины, следовательно, ее нельзя построить, не пройдя по одной линии дважды,
а значит, нельзя пройти по мостам так, чтобы не пройти по одному и тому же два раза.
А
В
С
D
Решение.

Через реку, омывающую три острова, перекинуто 9 мостов. Можно ли обойти все эти мосты, гоняясь за зайцем, не побывав ни на одном из них более одного раза?
А
В
С
D
E
Решение
№ 2

Составим схему к решению задачи
Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить, не отрывая карандаша от бумаги, а значит, можно пройти по мостам, не пройдя по одному и тому же два раза, начиная, например, с одного из мостов островка Е.
Решение.

Домашняя работа
Начертить фигуры одним росчерком карандаша
(там, где это возможно).
задача

Через реку, омывающую шесть островов, перекинуто 17 мостов. Можно ли обойти все эти мосты, гоняясь за зайцем, не побывав ни на одном из них более одного раза?
E
H
C
G
D
B
Решение

Составим схему к решению задачи
Из рисунка видно, что у полученной фигуры две нечетные вершины, следовательно, ее можно построить одним росчерком карандаша, а значит, можно пройти по всем мостам, побывав на каждом из них не более одного раза, начиная, например, с моста на острове В.
Решение.

Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни вершиной вниз.
И вновь глазами по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально и головою не крути.
А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади.
Теперь следи горизонтально.
И в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись!
Глаза открываем мы, наконец.
Зарядка окончилась.
Ты – молодец!