Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли

Содержание.
1.Определение функции заданной неявно.
2.Определение лемнискаты.
3.Вывод уравнения лемнискаты.
4.Преобразование уравнения лемнискаты.
5.Уравнение лемнискаты в полярной системе координат.
6.Исследование уравнения лемнискаты.
7.Построение лемнискаты.
8. Применение лемнискаты.
9.Краткая историческая справка.

Определение неявно заданной функции
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.
В зависимости от того, какой является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной,- кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные.
Примеры, лемниската Бернулли.

Лемниската –
это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.
Определение лемнискаты

Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у) - произвольная точка геометрического места,
то по условию
Подставляя в это равенство выражения
получим искомое уравнение данного геометрического места
Вывод уравнения лемнискаты

Преобразование уравнения лемнискаты
Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде.
Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя члены, находим
отсюда

Преобразование уравнения лемнискаты
Преобразуя последнее уравнение, имеем:
или в окончательном виде
Мы получили уравнение лемнискаты в декартовой системе координат.

Построение графика лемнискаты
Т.к х и у входят в это уравнение только в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей.
Построить график данной функции затруднительно.
Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат
Поскольку х =ρ cos φ, у = ρ sinφ, х2+у2= ρ2, то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид
ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ)
или
ρ 2=2а2 cos2φ.

ρ 2=2а2 cos2φ
Из этого уравнения видно, что
при φ=0. Если φ увеличивается в пределах
от 0 до , то ρ уменьшается от до ρ=0.
Если , то ρ принимает мнимые
значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах.
Исследование уравнения лемнискаты

Построение лемнискаты
Построим график функции
при разных значениях а:
при а=1

Построение лемнискаты

Построение лемнискаты
при а=-0,5

При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли.
1. 2. 3. 4.
Фигура выпуклая как эллипс.
Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба.
Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли.
Фигура разваливается на два овала.
Построение

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях.
Применение:

Существует два способа построения лемнискаты.
Первый способ - с помощью
двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности.
Способы построения лемнискаты
Рис.2

Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3).
Способы построения лемнискаты
Рис.3

Лемниската Бернулли.
Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската».
В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.
Историческая справка

БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете.
Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей и механике. В 1687 познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл».
Краткая биография

♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г;
♣ И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г;
♣ Маркушевич А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г.
Список использованной литературы