Представление чисел с плавающей запятой

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.
Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи в которой может быть представлено любое число.
A=m×qn
где m – мантисса числа, 1/n ≤|m|< 1
q - основание системы счисления,
n - порядок числа.
Мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.
Приведение числа с плавающей запятой к нормализованной форме
888,888 = 0,888888 × 10 3
Нормализованная мантисса m=0,8888888, порядок n=3.

Определение максимального числа
обычной точности
Число обычной точности занимает в памяти компьютера 4 байта.
Для хранения порядка мантиссы отводится 8 разрядов,
а для хранения мантиссы и её знака – 24 разряда.
Максимальное значение порядка числа составит
11111112 =12710
Максимальное число
2127 = 1,7014118346046923173168730371588 × 1038
Число двойной точности занимает в памяти компьютера 8 байтов.

Максимальное значение мантиссы
Точность вычислений определяется количеством разрядов, отведённых для хранения мантиссы чисел.
223 - 1≈ 223 = 2(10×2,3) ≈ 10002,3 = 10(3×2,3) ≈ 107
Таким образом, максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411 × 1038
(количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограниченно
7 разрядами)

Сложение и вычитание чисел
в формате с плавающей запятой.
Сначала проводится подготовительная операция выравнивание порядков.
Меньший по модулю порядок увеличивается до величины большего по модулю порядка числа. Для того чтобы величина числа не изменилась, мантисса уменьшается в такое же количество раз (сдвигается в ячейке памяти вправо на количество разрядов, равное разрядности порядков чисел).
После выполнения операции выравнивания одинаковые разряды чисел оказываются расположенными в одних и тех же разрядах ячеек памяти. Теперь операции сложения и вычитания чисел сводятся к сложению или вычитанию мантисс.
0,1 × 25 + 0,1 × 23 = ? 0,1 × 25 - 0,1 × 23 = ?
0,100 × 25 0,100 × 25
+ -
0,001 × 25 0,001 × 25
______________ _________________
0,101 × 25 0,010 × 25 = 0,10 × 24

Умножение и деление чисел с плавающей запятой
При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются.
При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя.
Затем число обязательно нормализуется, т. е. после запятой должна стоять цифра, отличная от нуля.
Умножение
0,1 × 25
× 0,1 × 23
______________
0,01 × 28 = 0,1 × 27
Деление
0,1 × 25
: 0,1 × 23
______________
1 × 22 = 0,1 × 23