Преобразование графиков функции

Цели:
1) Систематизировать приемы построения графиков.
2) Показать их применение при построении:
а) графиков сложных функций;
б) при решении заданий ЕГЭ из части C.

Рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций

1) Преобразование симметрии относительно оси x
f(x)?-f(x)
График функции y=-f(x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси x.
Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

2) Преобразование симметрии относительно оси y
f(x)?f(-x)
График функции y=f(-x) получается преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно оси y.
Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной.
Замечание 1. График четной функции не изменяется при отражении относительно оси y, поскольку для четной функции f(-x)=f(x). Пример: (-x)²=x²
Замечание 2. График нечетной функции изменяется одинаково как при отражении относительно оси x, так и при отражении относительно оси y, посольку для нечетной функции f(-x)=-f(x). Пример: sin(-x)=-sinx.

3) Параллельный перенос вдоль оси x
f(x)?f(x-a)
График функции y=f(x-a) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси x на |a| вправо при a>0 и влево при a<0.
Замечание.График периодической функции с периодом T не изменяется при параллельных переносах вдоль оси x на nT, n∈Z.

4) Параллельный перенос вдоль оси y f(x)?f(x)+b
График функции y=f(x)+b получается параллельным переносом графика функции y=f(x) вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b<0.

5) Сжатие и растяжение вдоль оси x
f(x)?f(αx), где α>0
α>1 График функции y=а(αx) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси x в α раз.
Замечание. Точки с пересечения графика с осью y остаются неизменными.
0<α<1 График функции y=f(αx) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси x в 1/α раз.

6) Сжатие и растяжение вдоль оси y
f(x)?kf(x), где k>0
k>1 График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
0
Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

7) Построение графика функции y=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси x и на оси x, остаются без изменения, а лежащие ниже оси x – симметрично отображаются относительно этой оси (вверх).
Замечание. Функция y=|f(x)| неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).
Примеры:

8) Построение графика функции y=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащая левее оси y, удаляется, а часть, лежащая правее оси y – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси y (влево). Точка графика лежащая на оси y, остается неизменной.
Замечание. Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси y).
Примеры:

9) Построение графика обратной функции
График функции y=g(x), обратной функции y=f(x), можно получить преобразованием симметрии графика функции y=f(x) относительно прямой y=x.
Замечание. Описанное построение производить только для функции, имеющей обратную.

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)
y=|x²-6|x|+8|=||x|²-6|x|+8|=|(|x|-3) ²-1|

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)

Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций (на примерах)

Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ
(части C).

Решить систему уравнений:
В одной системе координат, построим графики функций: а)
График этой функции получается в результате построения графика
в новой системе координат x’o’y’, где O’(1;0)
б)
В системе x”o”y”, где o”(4;3) построим график y=|x|.

Решить уравнение: f(g(x))+g(f(x))=32, если известно, что и
Решение: Преобразуем функцию f(x).
Так как , то
Тогда g(f(x))=20.
Подставим в уравнение f(g(x))+g(f(x))=32, получим f(g(x))+20=32;
f(g(x))=12
Пусть g(x)=t, тогда f(t)=12 или
при
при
или

а)
График данной функции получается построением графика
В системе x’o’y’, где o’(1;0).
б)
В системе x”o”y”, где o”(6;4), построим график функции
Условию x<5 удовлетворяет абсцисса общей точки графиков x=2.
Ответ: 2.

Вывод:
Мы видим, что правила преобразования графиков существенно упрощают построение графиков сложных функций.
Помогают найти нетрадиционное решение сложных задач.