Преобразования графиков функций

Преобразование симметрии относительно оси х
f(x) -f(x)
График функции у = -f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси х.
Замечание. Точки пересечения графика с осью х остаются неизменными.

Преобразование симметрии относительно оси y
f(x) f(-x)
График функции у = f(-x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси y.
Замечание. Точка пересечения графика с осью y остается неизменной.

f(x) f(x) + b

Параллельный перенос вдоль оси х
f(x) f(x-а)
График функции у = f(x-а) получается параллельным переносом вдоль оси х на |a| вправо при а>0 и влево при а
Замечание: График периодической функции с периодом Т не изменяется при параллельных переносах вдоль оси х на nT, nϵN.

Параллельный перенос вдоль оси y
f(x) f(x)+b
График функции у = f(x)+b получается параллельным переносом вдоль оси y на |b| вверх при b>0 и вниз при b

Сжатие и растяжение вдоль оси x f(x)?f(αx), где α >0
График функции y=f(αx) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси х в α раз.
График функции y=f(αx) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси х в 1/α раз.
α >1
0< α <1

Замечание. Точки пересечения графика с осью y остаются неизменными.

Сжатие и растяжение вдоль оси y f(x)?kf(x), где k>0
График функции y=kf(x) получается растяжением графика функции y=f(x) вдоль оси y в k раз.
График функции y=kf(x) получается сжатием графика функции y=f(x) вдоль оси y в 1/k раз.
k>1
0

Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными.

Построение графика функции у=|f(x)|
Части графика функции y=f(x), лежащие выше оси х и на оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х –симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: Функция y=|f(x)| неотрицательна(ее график расположен в верхней полуплоскости).

Построение графика функции у=f(|x|)
Часть графика функции y=f(x), лежащие левее оси у, удаляется ,а часть, лежащая правее оси у – остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: Функция y=f(|x|) четная (ее график симметричен относительно оси у).

Построение графика обратной функции
График функции у = g(x) , обратной для данной функции у = f(x) симметричен графику у = f(x) относительно прямой y=х.
Замечание. Описанное построение можно производить только для функции, имеющей обратную.
Примеры графиков
взаимно обратных функций:

Построение графиков сложных функций
с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций(на примерах).
Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.