ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ

№1. Плоскость отсекает на осях координат отрезки 5, 3, 8 соответственно в параметрах элементарной ячейки a,b,c. Определить индексы Миллера таких плоскостей.

x
y
z
5a
3b
8c

x
y
z
1a
5b
z
x
y
z
1b
2c

Обратная решетка. Её свойства
Здесь h,k,l – тоже целые числа
Здесь m,m,p–целые числа
Например, равенство (a,b*)=(c,b*)=0 говорит о том, что вектор b* перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора a и c. Соответственно равенство (a,c*)=(b,c*)=0 указывает на то, что вектор c* перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора, a и b. Ну а равенство (b,a*)=(c,a*)=0 свидетельствует о том, что вектор a* - перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора b c. Следовательно, можно записать
Здесь α1,α2,α3 неизвестные коэффициенты пропорциональности. Воспользуемся первым условием для векторов обратной решетки. Подставим в него полученные нами значения векторов обратной решетки

Последние три равенства можно переписать так
Однако из векторной алгебры известно, что смешанное произведения трех векторов a,b,c образующих параллелепипед равно объему этого параллелепипеда. Т.е.
Тогда

№2. Чему в прямой решетке соответствует
точка в обратной решетке

x*
y*
Z*
H
x
Z
d
y

№3. Показать, что вектор обратной решетки Hhkl перпендикулярен плоскости прямой решетки с индексами (hkl).

Введем в обратной решетке вектор
Этот вектор обладает чрезвычайно важным свойством – он всегда перпендикулярен плоскостям прямой решетки с индексами (hkl).
Рассмотрим, например, плоскость ABC в прямой решетке с индексами (hkl). Если вектор H перпендикулярен к этой плоскости (hkl), то скалярное произведение любого вектора лежащего в этой плоскости, будет равно нулю. Возьмем для простоты рассмотрения вектор AB. Он будет определяться как разность двух других векторов .
Если вектор H перпендикулярен этой плоскости, скалярные произведения (H,AB), (H,AC), (H,CB) должны быть равны нулю.

№4. Показать, что модуль вектора обратной решетки равен обратной величине межплоскостного расстояния для
плоскосей с индексами (hkl) т.е.

Другим важнейшим свойством вектора H является то, что его модуль всегда равен обратной величине межплоскостного расстояния для плоскостей с индексами (hkl).
Атомную решетку любой симметрии можно представить как набор семейств плоскостей с индексами (hkl), (h1k1l1), (h2k2l2), ….
- единичный вектор нормали к плоскости.
Вспоминая, что (mh+nk+pl)=s - уравнение плоскости, получим
R – текущий радиус-вектор точек одной из плоскостей с индексами (hkl)
Здесь d - межплоскостное расстояние для этой системы плоскостей, s – целое число (например, для плоскости, проходящей через начало координат s=0)
Тогда уравнение любой такой плоскости можно записать в виде

№5. Рассчитать структурную амплитуду для гранецентрированной кубической решетки. Определить закон погасания рефлексов для этой структуры.

Для гранецентрированной кубической решетки базис записывается, как
Если положить, что все атомы, входящие в кристаллическую решетку, одинаковые, можно записать, что f1=f2=f3=f4=f и структурная амплитуда
Подставляя в это выражение координаты базиса гранецентрированной решетки, получим
или, вспоминая формулы Эйлера –
Следовательно, правила погасания будут выглядеть как:
если hkl одновремнно четные или нечетные, то F=4f;
если hkl смешанные, то F=0.

№6. Рассчитать структурную амплитуду для объемоцентрированной
кубической решетки.
Определить закон погасания рефлексов для этой структуры.

Объемоцентрированная решетка

№7. Рассчитать структурную амплитуду, структурный фактор и определить законы погасаний для решетки алмаза.
Решетка алмаза это две гранецентрированные решетки сдвинутые по телесной диагонали на 1.4 ее длины.
Координаты базиса [[000; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2; 1/4,1/4,1/4; 3/4,3/4,1/4; 3/4,1/4,3/4; 1/4,3/4,3/4]].

[[000; 1/2,1/2,0; 1/2,0,1/2; 0,1/2,1/2; 1/4,1/4,1/4; 3/4,3/4,1/4; 3/4,1/4,3/4; 1/4,3/4,3/4]]
-гранецентрированная решетка

№8 На щель шириной a падает плоская волна. Рассчитать распределение излучения за этой щелью. (Дифракция на узкой щели).

f(x)
1
x
Запишем выражение, описывающее щель, в виде функции
Фурье-образ такой функции
будет описываться
Вспоминая, что
и обозначая
можно записать значение
интеграла, описывающего Фурье-образ,
или, используя формулы Эйлера, интеглал преобразутся к виду
-a/2
a/2

№9. Определить число атомов в элементарной ячейке железа, кристаллизующегося в кубической системе; ребро куба а=2,87Å, атомный вес железа 55,84; плотность ρ=7,8г/см3; mH=1,65x10-24г

Применяя формулу плотности к элементарной ячейке, находим
т.е. на элементарную ячейку приходится 2 атома. Здесь A – атомный вес, mH – масса атома водорода.

№10. Рассчитать необходимую ширину щели коллиматора для выделения Кα1 линии в методе Ланга. Исследуемый кристалл - кремний, а=5,4306Å; отражение (220); расстояние от источника до выходной щели коллиматора 450мм; источник - точечный. Длины волн λKα1=0,70926Å; λKα2=0,71354Å

Запишем условия Брэгга для этих длин волн
Ширина щели, формирующая пучок, определяет величину расходимости падающего на кристалл пучка. Для того, чтобы исследуемый кристалл отражал только одну длину волны λKα1, необходимо, чтобы угловая ширина падающего на кристалл пучка была меньше углового интервала между отражениями λKα1 и λKα2 (см.рисунок).
Отсюда легко найти разницу между угловыми положениями θ1 и θ2 т.е.
Следовательно, угловая и линейная ширина щели соответственно равны
Определяя значение тангенса угла Брэгга и подставляя его в приведенное выше выражение, получим
и, следовательно, ширина щели равна

Основные идеи диаграмм Дю Монда
DuMond J.W. Phys. Rev. (1937), 52, p.872

№11. Определить экстинкционную длину для отражения (220) кремния (излучения MoKα1 и CuKα1). Фурье-компонента поляризуемости для этого случая (MoKα) χ(220)=(2.04+i0.017)10-6. Фурье-компонента поляризуемости для этого случая (CuKα) χ(220)=(9.74+i0.340)10-6. Параметр решетки для кремния а=5,4306Å, длины волн соответственно равны λMoKα1=0.70926Å, λCuKα1=1.54051Å

Экстинкционная длина определяется соотношением
где и - Фурье–компоненты поляризуемости кристалла для данной системы плоскостей. Если кристалл центросимметричный,
Параметр с – фактор поляризации . Если вспомнить, что , а d для
кубического кристалла определяется квадратичной формой –
тогда для излучения MoKα и соответственно
экстинкционная длина будет равна
Для излучения CuKα ,
а экстинкционная длина будет равна

№12. Оценить толщину кристалла кремния, при которой соотношение амплитуд нормальной и аномальной волн для симметричного отражения (220) на излучении MoKα будет составлять 1/10. Фурье-компонента поляризуемости кристалла для этого случая χ(220)=(2.04+i0.017)10-6. Нулевой член Фурье-компоненты поляризуемости кристалла для этого случая χ0=(3.156+i0.0162)10-6. Параметр решетки для кремния составляет а=5,4306Å.

Величины поглощения для нормальной и аномальной волн задаются соотношением
Знак плюс относится к поглощению нормальной моды.
Здесь
- фотоэлектрическая часть поглощения.
Запишем интенсивности нормальной и аномальной волн в зависимости от толщины кристаллов
Тогда
и следовательно искомая толщина равна
Числитель этого выражения задан условием задачи. Знаменатель задается выражением
7,531×10-4м=7.531×102мкм

№13. Определить все элементы симметрии куба.
Изобразить это на стереографической проекции