Производная в различных отраслях науки

Производная в физике и технике
Производная в биологии

Механический смысл производной
Материальная точка движется по координатной прямой, причем задан закон движения, т.е. координата x этой точки есть известная функция x (t) времени t. За промежуток времени от t0 до t0 + ∆t перемещение точки равно, x( t0+∆t)-x( t0 )=∆x а её средняя скорость такова:
Vср (∆t)= ∆x/ ∆t

ПРИМЕР
Пусть материальная точка движется по координатной прямой согласно закону x=f(t)
Средняя скорость этой точки на промежутке[a;b] равна
Vср= f(b)-f(a)/b-a
Мгновенная скорость V(t) в [a;b] не может быть всё время меньше (больше) средней.Значит, в какой-то момент t0€[a;b] мгновенная скорость равна средней,т.е. в промежутке [a;b] найдём такое t0,что
V(t0)=f’(t0)=f(b)-f(a)/b-a