Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение
Отрезок, концы которого лежат на скрещивающихся прямых, и перпендикулярный обеим прямым, называется общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым.

Теорема
К любым двум скрещивающимся прямым можно провести общий перпендикуляр и притом только один.

Доказательство:
а
в
α
β
γ
А
В
Значит АВ – общий перпендикуляр

Доказательство единственности
а
в
α
β
γ
А
В
Допустим, что А1В1 – другой общий перпендикуляр, тогда
Значит прямые АВ и А1В1 лежат в одной плоскости.
Значит прямые a и b лежат в одной плоскости, что противоречит условию.
B1
A1

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми
1 способ
α
a
b
B
H
2 способ
α
β
b
a
B
H

3 способ
b
a
α
B
H
тогда

Решение задач
А
В
C
D
A1
D1
C1
B1
Найдите расстояние между прямыми:
1) DD1 и АВ;
2) DA1 и ВС;
3) D1B1 и АС;
4) DB и С1С;

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
N
H
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между прямыми: 1) А1С и ВС1.

A
B
C
D
A1
D1
B1
C1
2) Найти

A
B
C
D
A1
D1
B1
C1
3) M – середина АО, найти
О1
О
М
Н

A
B
C
D
A1
D1
B1
C1
О
Н
N
4) Найти

A
B
C
D
S
O
4) Дана правильная пирамида, все рёбра которой равны а. Найти , если К – середина ВС.
H

A
B
C
D
S
O
K
K1
H