Разложение многочленов на множители.

Немного теории
Разложить многочлен на множители значит представить его в виде произведения более простых многочленов.
Существует несколько способов разложения:
Вынесение общего множителя за скобки
Способ группировки
С помощью формул сокращенного умножения

Сначала убедимся в том что разложение на множители –вещь полезная.
Вам предлагают решить уравнение 2х2+х-6=0.
Для таких уравнений имеется специальное правило решения, но вы его пока еще не знаете.
Как быть?

Воспользуемся разложением многочлена на множители: 2х2+х –6=(2х-3)(х+2)
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
(2х-3) (х+2)=0
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Значит,
либо 2х-3=0,
либо х+2=0.
Из первого уравнения х=1,5, а из второго уравнения х=-2.
Уравнение решено, оно имеет два корня: 1,5 и –2.

Рассмотрим другую ситуацию
Пусть нужно найти значение числового выражения
532-472
612-392
Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов:
532-472 = (53-47)(53+47) = 6•100 = 6 = 3
612-392 (61-39)(61+39) 22•100 22 11
Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения уравнений, для преобразования числовых и алгебраических выражений. Применяется оно и в других ситуациях, как, скажем, в следующем довольно трудном, но красивом примере, где ключ к успеху опять-таки в разложении на множители.

ПРИМЕР
Доказать, что для любого натурального числа n выражение n3+3n2+2n делится без остатка на 6.
Попробуйте его решить

Посмотрите, как легко это можно сделать
Пусть p(n) = n3+3n2+2n.
Если n=1, то p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка.
Если n=2, то p(2)=23+3·22+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка.
Если n=3, то p(3)=33+3·32+2·3=27+27+6=60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка.
Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.
Имеем: n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2).
В самом деле n(n+1)= n2+ n, а (n2+n)(n+2)=n3+2n2+n2+2n=n3+3n2+2n.
Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.
Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n3+3n2+2n= n(n+1)(n+2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.
К этому и перейдем.

Вынесение общего множителя за скобки
Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример
Разложить на множители:
-x4y3-2x3y2+5x2.
Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.
Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.
Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
Вывод: за скобки можно вынести x2. Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x2. Получим:
-x4y3-2x3y2+5x2=-x2(x2y3+2xy2-5).

Способ группировки
Для уяснения сути способа группировки рассмотрим следующий пример:
разложить на множители многочлен xy-6+3y-2y
Первый способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-6)+(3x-2y).
Группировка неудачна.
Второй способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy+3x)+(-6-2y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2).
Третий способ группировки:
xy-6+3y-2y=(xy-2y)+(-6+3x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3).
Ответ: xy-6+3y-2y=(x-2)(y+3).
Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения
Вспомните эти формулы:
a2-b2=(a-b)(a+b);
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Примеры
Разложить на множители:
1) x6-4a4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов):
x6-4a4=(x3)2-(2a2)2=(x2-2a2)(x3+2a2).
2) a6+27b3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов):
a6+27b3=(a2)3+(3b)3=(a2+3b)((a2)2-a2·3b+(3b)2)=
=(a2+3b)(a4-3a2b+9b4).
3) a2-4ab+4b2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом:
a2-4ab+4b2=a2+(2b)2-2·a·2b=(a-2b)2.
Мы убедились, что трехчлен содержит сумму квадратов одночленов a и 2b, а также удвоенное произведение этих одночленов. Значит, это полный квадрат, причем квадрат разности.

Разложение многочлена
на множители с помощью комбинации различных приемов
В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Пример 1
Разложить на множители многочлен
36a6b3-96a4b4+64a2b5
1) Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.
Итак, за скобки вынесем 4a2b3. Тогда получим:
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b.
Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a4-24a2b+16b2=(3a2-4b)2.
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.

Пример 2
Разложить на множители
x4+x2a2+a4
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2. Получим:
x4+x2a2+a4=x4+2x2a2-x2a2+a4=
=(x4+2x2a2+a4)-x2a2=
=(x2+a2)2-(xa)2=(x2+a2+xa).

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2). Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:
n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)=
=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).
Окончательно получаем:
n2+3n+2=n(n+1)(n+2).
Пример 3
Разложить на множители
n3+3n2+2n

Первый способ. Представим –6x в виде суммы –x-5x, а затем применим способ группировки:
x2-6x+5=x2-5x+5=(x2-x)+(-5x+5)=x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).
Тогда заданное уравнение примет вид:
(x-1)(x-5)=0,
откуда находим, что либо x=1, либо x=5.
Второй способ. Применим метод выделения полного квадрата, для чего представим слагаемое 5 в виде 9-4. Получим:
x2-6x+5=x2-6x+9-4=(x2-6x+9)-4=
=(x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2)=(x-5)(x-1).
Снова пришли к уравнению (x-1)(x-5)=0, имеющему корни 1 и 5.
Ответ: 1, 5.
Пример 4
Решить уравнение
x2-6x+5=0

Сокращение
алгебраических дробей
Алгебраической дробью называется отношение двух многочленов P и Q. При этом используют запись P
Q

Тождества
a2-b2=(a-b)(a+b);
x2-4x+4=(x-2)2;
(a+b)c=ac+bc.
Написанные равенства верны при любых значениях входящих в их состав переменных. Такие равенства называют тождествами. Левую и правую часть тождества называют выражениями, тождественно равными. Замену одного выражения другим, тождественным ему, называют тождественным преобразованием выражения.
Определение. Тождество – это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.