Решение квадратных уравнений с применением циркуля и линейки

Корни квадратного уравнения ах²+bx+c=0 (а≠0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром
Q , проходящей через точку А(0;1),
и оси Ох.
Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QA (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.
Возможны 3 случая:

1 случай
Если QA> то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х1 ; 0) и N( (х2 ; 0), уравнение имеет корни х1 , х2

2 случай
Если QA= то окружность касается оси Ох в точке М(х1 ; 0), уравнение имеет корень х1 .

3 случай
Если QA< то окружность не имеет общих точек с осью Ох, у уравнения нет корней.

Пример 1
Решите уравнение х²-2x+1=0.
Решение:
-в/2а=1,(а+с)/2а=1,
Q(1;1), А(0;1)
QА=1,
Окружность касается
Ох в т.М, уравнение
имеет 1 корень.
Ответ: х=1.

Пример 2
Решите уравнение х²+4x-5=0.
Решение:-в/2а=-2; (а+с)/2а=-2
Q(-2;-2),А(0;1)
QА>-2,окружность
пересекает ох в двух
точках, уравнение имеет
2 корня.
Ответ: х=-5, х=1.

Пример 3
Решите уравнение х²-4x+5=0.
Решение:
-в/2а=2, (а+с)/2а=3
Q(2;3), А(0;1)
QА<3, поэтому окружность
не пересекает ось ох.
Уравнение корней не
имеет.
Ответ: нет корней.

Замечание
Конечно, решать уравнения по формуле проще, чем выполнять построения. Но нам сейчас интересно отметить важный факт: квадратные уравнения могут быть решены с привлечением геометрии. Правда, этот способ не позволяет получать точные решения в случае произвольных коэффициентов уравнения.