Решение планиметрических задач С4

Задачи
Теория и практика
№1
№2
№3
№4
№5
№6

Теория
Теорема. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Теорема (обратная). Если медиана треугольника равна половине его стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Теорема Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен

Теория
Теорема. Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.
Теорема. Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Теорема. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Теорема. Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон этого угла.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Теорема. Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Теорема. При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник.
Теорема. Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.
Теория
А

Теорема (замечательное свойство трапеции). Точка пересечения диагоналей любой трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Теорема. Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям).
Теорема. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полуссумме оснований (средней линии).
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H
E

Пусть окружность вписана в треугольник ABC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
А
В
С
О
x
x
y
y
z
z
Доказательство.
М
N
К
Мы знаем, что центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника, значит AM=AK=x, BM=BN=y, CK=CN=z.
Тогда, периметр ΔАВС равен: , откуда
или
Вспомогательная задача.

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
№1

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Рассмотрим 1 случай.
Найдем:
Значит,
Из ΔADC,
Из ΔADВ,
№1
?

В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC = 3:8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF.
Решение.
Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС.
Значит,
Из ΔADC,
Из ΔADВ,
№1
Рассмотрим 2 случай.

Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M . Найдите HM .
Решение.
Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14.
По условию ΔАВС∞ΔНВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая.
1 случай. ∠ВМН = ∠ВАС;
2 случай. ∠ВМН = ∠АСВ;
ΔАВН – прямоугольный, BН = АВ·cosB = 2.
значит,
, значит,
№2

нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 3a,
верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 3a.
Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N . Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого.
Решение.
Возможно два вида трапеции.
Найдем площадь ОMPN:
В обоих случаях:
Рассмотрим первый случай.
№3
SMONP=SΔAOD – SΔAMP – SΔPND.

По условию BC = a, АD = 3a, аh = 120.
1) ΔBOC∞ΔAOD ,
по трем углам
h
2) ΔBMC∞ΔAMP , по трем углам,
Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции.
3) Находим искомую площадь:
а
3а
SMONP=SΔAOD – SΔAMP – SΔPND.

По условию BC = 3a, АD = a, аh = 120.
1) ΔBOC∞ΔAOD ,
по трем углам
h
2) ΔBMC∞ΔAMP , по трем углам,
Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции.
3) Находим искомую площадь:
Ответ: 27 или 5.
3а
а
SMONP=SΔAOD – SΔAMP – SΔPND.

№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
Решение.
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Возможны два случая.
1) точка О – лежит внутри параллелограмма;
Рассмотрим первый случай.
2) точка О – лежит вне параллелограмма.
12

№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
Решение.
М
N
Пусть О – точка пересечения биссектрис.
Рассмотрим первый случай.
12
1) ΔABN – равнобедренный, т.к.
∠ВNА=∠NAD- накрест лежащие;
значит ∠ВNА=∠ ВAN и AB=BN=12,
АN – биссектриса ∠А,
тогда
Найдем MN=BN-BM=12-1,5=10,5.
2) Аналогично, ΔDMC – равнобедренный, MC=DC=12.
Тогда NC= MC-MN=12-10,5=1,5.
3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13,5.
1,5
10,5
1,5

№4
В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM:MN=1:7. Найдите ВС.
Решение.
Рассмотрим второй случай:
точка О – лежит вне параллелограмма.
1)ΔABМ– равнобедренный, т.к.
Тогда АВ=ВМ=12.
2) Аналогично ΔDNC– равнобедренный,
3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108.
12
12
12
12
∠ВMА=∠MAD- накрест лежащие;
значит ∠ВMА=∠ ВAM.
АМ – биссектриса ∠А,
Ответ: 13,5 или 108.
тогда NC=DC=12.

Сторона ромба ABCD равна 4√7, а косинус угла А равен 0,75.
Высота BH пересекает диагональ AC в точке М. Найдите длину отрезка ВМ.
В прямоугольном треугольнике ABH: AH = AB · cosα = 4√7 · 0,75 = 3√7,
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49; BH = 7.
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам. Составим пропорцию: BM : HM =BC : AH = 4 : 3
Пусть BM = x, тогда HM = 7 - x;
x : (7 – x) = 4 : 3; 3x = 28 - 4x; x = 4.
Ответ: 4
№5
М

Дан параллелограмм АВСD, АВ=2, ВС=3, угол А равен 60о. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника АВОD.
№6
Решение: 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А.
Треугольник АDF равнобедренный. Так
как угол А равен 60о, то этот треугольник
равносторонний со стороной 3. Радиус
вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=

Дан параллелограмм АВСD, АВ=2, ВС=3, угол А равен 60о. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника АВОD.
№6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C. Треугольник АDУ равнобедренный. Так как угол А равен 60о, то этот треугольник
равносторонний со стороной 2. Радиус вписанной окружности равен
r = 2 / 2tg60o = 1 / √3= √3 / 3
Находим площадь SABOD = SABCD – SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности, значит
=3 √3 – 0,5*3*√3 / 3 –
- 0,5*2*√3 / 3 = 13√3 / 3.