Решение задач по теме "Пирамида" 10 класс

Цели урока
Изучить мнемонический прием.
Вывести формулы перехода основных углов в правильных пирамидах.
Научиться применять мнемонический прием для доказательства зависимостей между углами в правильной пирамиде и решения задач.

А
В
С
Устная работа
Дан прямоугольный треугольник АВС.
Найдите:
SINA=
COS A=
tg A =
ВС/АВ
АС/АВ
ВС/АС

2) Треугольник АВС равнобедренный. Проведены высоты к снованию и боковой стороне. Докажите, что .
А
В
С
К
М
1
2
ΔАМС ∞ ΔВКС (по двум углам)
∟1 =∟2

Основные элементы пирамиды

№ 255 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ найдите высоту пирамиды.
Решение:
1. Из ΔBCD найдем боковое ребро DC по теореме косинусов:
получим
2. Из ΔCDO определим высоту пирамиды DO=H= , где ОС – радиус окружности, описанной около основания
3. По теореме синусов , ОС=
4. = =
= 4 =
Ответ:

S
A
B
O
α
β
x

МНЕМОНИКА
Три закона Ньютона:
1) не пнёшь — не полетит
2) как пнёшь, так и полетит
3) как пнёшь, так и получишь
Биссектриса — это крыса (бегает по углам и делит их пополам)
Медиана — это обезьяна (лазает по сторонам, делит их пополам)

1. Запишем наименования треугольника, в котором находится искомый угол.
2. Из трех букв S, A, O составим различные пары. Получили три отрезка.
3. Зачеркнем тот, который не является общим для треугольников, имеющих данные углы.
4. Добавим по букве, чтобы получить наименование треугольника, включающего один из данных углов: α или β.
5. Найдем отрезок, состоящий из общих букв.
6. Для нахождения искомой зависимости разделим числитель и знаменатель на найденный отрезок.
Мнемонический прием:
ΔSAO
SA SO AO
ΔSAB
ΔAOB
AB

Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при ребре основания (четырехугольная пирамида)
ΔSMO
SM SO MO
ΔSCM
ΔCOM
CM

Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при боковом ребре
ΔCDM
CD DM MO
ΔCDM
ΔCMB
CB

РАБОТА В ГРУППАХ

РАБОТА В ГРУППАХ

Вернемся к задаче 255
1. Из ΔАВС найдем .
2. Применим формулу перехода для ∟DMO=X:
, отсюда .
3. По теореме Пифагора DO= = 4 =
= .
Ответ:
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ найдите высоту пирамиды.

Переходы 3 4 6
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом между боковым ребром и
плоскостью основания
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при ребре основания
Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при боковом ребре
n

№ 256 г) В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен α. Найти двугранный угол при боковом ребре пирамиды.
Решение:
Пусть линейный угол двугранного угла будет равен X.
ΔАМС равнобедренный, значит ∟DMC=½X.
Применим формулу перехода:
Отсюда: или
Х =
Ответ:

№ 254 (б) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота равна h. Найти плоский угол при вершине пирамиды.
ΔSКА
SK SA MO
ΔSCM
ΔCOM
CB
Из ΔSKA: , , где АО= ,
Тогда и отсюда
Значит
Ответ:

Рефлексия
Изучили мнемонический прием.
Вывели формулы переда основных углов в правильных пирамидах.
Научились применять мнемонический прием для доказательства зависимостей между углами в правильной пирамиде и решения задач.