Системы счисления

Система счисления
1.Это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.
2.Это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр и знаков.

Все системы счисления
Позиционные
Непозиционные

Непозиционная С.С.
В таких с.с. от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает
Пользовались египтяне, древние греки, римляне и другие народы.

Непозиционная С.С.
I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

Непозиционная С.С.
CCXXXII
Складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.

Непозиционная С.С.
Правила записи:
Цифры записываются слева направо в порядке убывания и их значения складываются.
Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются.
VI=5+1=6 IV=5-1=4

Непозиционная С.С.
Были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но непригодны для выполнения умножения и деления

Позиционная С.С.
Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.
Основание позиционной С.С. – количество используемых цифр
Ак рк +Ак-1рк-1 + … +А1 р + А0 р0
р0=1
Где р – основание с.с.
а – цифры с.с
к – число целых разрядов

Позиционная С.С.
2749
2 *103 + 7*102 + 4*101+9*100
2000+700+40+9=2749
384,9506
3*102 +8*10 + 4+ 9*10-1+5*10-2+6*10-4=
300+80+4+0,9+0,05+0,0006=384,9506

Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев , а восемь, то человечество пользовалось восьмиричной системой.
Н.Н. Лузин
математик

Позиционная С.С.
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<=10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Позиционная С.С.
Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание системы, к которой относится число обозначается подстрочным индексом:
1011012, 36718, 3В8Е16
Позиционная С.С.

Перевод чисел из одной с.с. в другую
1123=1 *32+1*31+2*30=9+3+2=14
1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20
Обратный перевод: 1510=8+4+2+1=1*22+1*22+1*21+1=11112

Перевод чисел из одной с.с. в другую
Как перевести 15710= ?2

Сложение в двоичной с.с.
В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел.

Сложение в двоичной с.с.
Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд.
В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112:
10012

Проверим правильность вычислений
1102=1*22+1*21+0*20=610
112=1*21+1*20=310
10012=1*23+0*22+0*21+1*20=910
610+310=910
Сложение выполнено верно.

Вычитание в двоичной с.с.
В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел.
При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда

Вычитание в двоичной с.с.
Для примера производим вычитание двоичных чисел 1102 и 112:
112

Умножение чисел в двоичной с.с.
В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел.

Умножение чисел в двоичной с.с.
Рассмотрим пример умножения двоичных чисел 1102 и 112:
110
110
100102

Деление чисел в двоичной с.с.
Выполняется подобно операции деления в десятичной с.с.
Разделим двоичное число 1102 и 112:
1102
1
02
11
0

Задания
Чему равны в десятичной с.с. следующие числа:XI, IX, LX, CLX, MDCXLVIII.
Запишите римскими цифрами числа: 13; 99; 666; 444; 1692

Задания
3. Переведите числа из одной системы счисления в другую:
5610=?2 11112=?10
23С16=?10 5610=?8
5610=?5 1788=?10
1235=?10 2328=?10
2А,416=?10