Системы уравнений (11 класс)

Уравнение записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой. Порядок уравнений не играет роли.
Например:
х+у=39
х-у=11
Системой уравнений называется множество уравнений, решаемых совместно.
называется множество пар (х;у), удовлетворяющих каждому уравнению.
Обозначение.
5х+3у=7
2х+3у=1
Решением системы
уравнений с 2 переменными

Система двух уравнений,
из которых одно первой степени, а другое второй.
Система уравнений вида:
х + у = а
ху = b.
Уравнение первой степени
Уравнение второй степени

Пусть дана система:
4 у + х + 3у = 1
2 х – =
Воспользуемся способом подстановки
у
1
2
выразим из второго уравнения у.

Тогда уравнение 2-й степени после подстановки дает уравнение с одним неизвестным х:
4 у + х + 3у = 1
2 х – 1 = у
-4(2х-1) +х+3(2х-1)=1
2

Решаем уравнение
- 4(2х-1) + х + 3(2х-1)=1
2
х – 4 (2х-1) + х + 3 (2х - 1) = 1
х – 4 (4х – 4х + 1) + х +6х – 3 = 1
х – 16х + 16х - 4 + х + 6х – 3 – 1 = 0
-15х + 23х – 8 = 0; 15х – 23х + 8 = 0
2
2
2
2
2
2
2
2

15 х - 23 х + 8 = 0
2
√D = √23 – 4 × 15 × 8 = √49 = 7
х = = 1
1
23 + 7
30
х = = 1/15
2
23 - 7
30

После этого из уравнения у = 2х — 1 находим:
у1 = 2 - 1
у2= 2 - 1
х
х
•1 = 1
8/15 = 1/15

Ответ: ( 1; 1) ;(8/15 ; 1/15)
Таким образом, данная система имеет две пары решений:
1) x1 = 1 , y1 = 1;
2) х2 = 8/15 , y2 = 1/15
Ответ: ( 1; 1) ;(8/15 ; 1/15)

Система двух уравнений,
из которых каждое
второй степени.
Пример:
x + y = а
х у = b
2
2

Если b = 0, то и х = 0 и у = 0 . Поэтому мы можем, не нарушая равносильности уравнений, разделить обе части второго из них на х:
x² + ( b/x )² = a
у = b/x
x² + y² = а
х у = b
<=>

Умножив обе части на x , получим равносильное уравнение:
x + b = ax , т. е.
x — ax + b = 0.
2
4
4
2
2
2
2

Подобным же образом решается и система:
x² — y² = а
xy = b.
Подобным же образом решается и система:
x² — y² = а
xy = b.

Надо решить систему уравнений:

I способ (графический)
Построим в одной координатной плоскости графики функций
х ² + у ² = 25
х • у = 12
<=>
х ² + у ² = 25
у = 12 / х

Из рисунка видно, что значения корней следующие:
.
х ² + у ² = 25
у = 12 / х
у = 12 / х
(-4;-3)
(-3;-4)
(3;4)
(4;3)

II способ (аналитический)
Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:
<=>
× 2

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:
<=>

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим:
Ответ: (4;3) ; (-3;-4) ; (3;4) ; (-4;-3)

Решить систему уравнений:

I способ (графический)
Построим в одной координатной плоскости графики функций
и
(-3;2 )
(-2 ;3)
(3;2 )
(2 ;-3 )