Сложение и вычитание векторов

Сложить коллинеарные противоположно направленные вектора
а
в
О
а + в
.

а
в
Векторы а и в коллинеарные , найти сумму векторов.
О
С
а + в
а
а
в

От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ;
Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в.
ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в.
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
а+в
в
а
а
в
в
а

а + в
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в;
На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм ;
Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма.
ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в.
а
в
а
в

ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА
а1
а2
а3
а4
А1
А2
А3
А4
А5
1 ) От конца вектора а1 отложить вектор а2 ,
равный вектору а2;
2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить;
3) Провести вектор из конца вектора аn в начало а.
ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а2 , а3 ,… и аn
а1
а2
а3
а4

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Для любых векторов а , в и с справедливы равенства:
1) а + в = в + а --- переместительный закон
2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.
1.Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не коллинеарны. А
В
а
D
в
С
а
в
а + в
ОТ произвольной точки А отложим векторы
АВ = а и АD = в и на этих векторах построим параллелограмм АВСD. По правилу треугольника АС = АВ + АD = а + в.
Аналогично АС= АD + DС = в + а. Отсюда
Следует ,что а + в = в + а,

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН.
Доказательство . От произвольной точки А отложим вектор АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор СD=с. Применяя правило треугольника , получаем:
(а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ СD =АC+СD =АD
а + ( в + с) = АВ + (ВС + СD)=АВ + ВС = А D. Отсюда
следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.
.
А
В
а
в
с
С
D

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
а
в
а- в
Разностью векторов а и в называется такой вектор , сумма которого с вектором в равна вектору а
а
в
а
в

Теорема: Для любых векторов а и в справедливо равенство
а – в = а +( - в ).
Доказательство. По определению разности векторов
( а – в ) + в =а. Прибавив к обеим частям этого равенства
вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а+ (-в),или
(а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в).
а
в
.
В
А
О
-в
а
а -в

Задача №754
Дано:
х
у
z
А)
х + y
В)
x +z
C)
z +y

Задача №755
Дано:
а
в
с
d
е
а +в +с + d +е
а
в
с
d
e

Задача № 756.
Дано:
х
z
y
- х
-z
-y
y
х - у
z - y
x -z
x
x
у
у
z

ЗАДАЧА : используя правило треугольника , постройте векторы ОА = а +в
а
в
в
ОА
а

ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма
постройте векторы ОР =х + у
Х+У= ОР
O
P
х.
у
х
у

Задача: Используя правило треугольника, найдите сумму векторов: а) РМ и МТ, б) СН и НС,
в) АВ + 0,г) 0 +СЕ.
Решение: а)РМ + МТ = РТ
б) СН +НС= СС= 0
в) АВ + 0 = АВ
г) 0 + СЕ= СЕ

Задача : Используя правило треугольника, постройте векторы ОА = а + в и CВ = а +в.
Определите вид четырехугольника ОАВС.
а
в
о
В
С
К
А
М
а
в
а
в
Отложим от точки О вектор ОМ = а и от точки М вектор МА = в, тогда
ОА=ОМ + МА. Аналогично строим СК = а и КВ = в, тогда СВ = СК+КВ.
Т.к. ОА = а + в и CВ = а + в, то ОА=CВ , поэтому четырехугольник- параллелограмм.