Ст. преп., к.ф.м.н. Богданов Олег Викторович

Основные формулы комбинаторики
Число возможных перестановок множества из n элементов есть
Сколько существует способов расстановки на полке 6 разных книг?
Пример:

Если из n разных объектов по k разных объектов, то с учетом порядка следования полное число разных выборок будет определять формула
-число размещений без повторений.
Пример:
Сколько трехзначных чисел (без повторений) можно составить из чисел 1,2,3,4,5.

Если в выборках из n объектов по k разных объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то исползуют формуле для числа сочетаний:
Пример:
Сколько комбинаций из трех монет можно собрать, имея пять разных монет:
-без учета порядка в комбинации
-с учетом порядка в комбинации

Понятие вероятности событий
Под событием понимают такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти.
Различают достоверное, невозможное и случайное события.
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В называют суммой событий. А+В
Событие, состоящее в наступлении обоих событий А или В называют произведением событий. А*В
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятных исходов, к числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Пример:
Бросается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет не более четырех очков.
Общее число элементарных исходов n=6 (могут выпасть 1,2,3,4,5,6). Благоприятных исходов 4, соответственно, искомая вероятность:
Пример:
В урне имеются 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность извлечь синий шар?

В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Извлекли два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Пример:

Теорема сложения вероятности. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
Для независимых событий
Теоремы сложения и умножения вероятностей

Пример:
В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Извлекли один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар красный, белый или черный?
Имеем n=10+15+20+25=70.
P(K)=25/70=5/14.
2) Применив теорему сложения вероятностей, получим:
P(Б+Ч)=P(Б)+P(Ч)=1/7+3/14=5/14.
Пример:
В первом ящике имеются 2 белых и 10 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика извлекли по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?
События А и В - независимые. Речь идет о совмещении событий. Необходимо применить теорему умножения вероятностей: Р(А*В)=Р(А)*Р(В)=2/3 * 8/12=1/6 * 2/3=1/9.

Пример:
В ящике имеются 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика извлекли два шара ( не возвращая извлеченный шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.
Пусть событие А-появление белого шара при первом извлечении. В-при втором. По теореме умножения вероятностей в случае зависимых событий:
Р(А)=6/(6+8)=3/7,
Р(B/А)=(6-1)/(6+8-1)=5/13.
Р(AB)= 3/7 * 5/13=15/91.

Формула Бернулли.
Если проводится n независимых событий, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна р (q=1-p), то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли.

Пример:
Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Пример:
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять партий из восьми?

Пример:
Что вероятнее, выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен): три партии из четырех или пять партий из восьми?
Для решения задачи можно использовать схему Бернулли:

Формула полной вероятности.
Пусть Н1, Н2,…, Нn — полная группа событий (события Нi называются гипотезами). Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:
Отметим свойство:

Пример:
Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями р1=0,25, р2=0,35 и р3=0,40. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий, равны соответственно 0,1, 0,2 и 0,3. Определить вероятность того, что случайно взятая лампа проработает заданное число часов.
Введем обозначения:
А-лампа проработает заданное число часов.
Н1, Н2, Н3 -лампа принадлежит соответственно первой, второй или третьей партии. По условию задачи: Р(Н1)=р1, Р(Н2)=р2, Р(Н3)=р3
Тогда, Р(А)= Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3)=
=0,25*0,1+0,35*0,2+0,40*0,3=0,215

Формула Байеса.
Пусть Н1, Н2 …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте:
Н1 = {стреляет 1-й стрелок}
Н2 = { стреляет 2-й стрелок } .
Вероятности этих гипотез одинаковы: P(Н1) = P(Н2) = 1/2.
Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что
P(A\Н1) = 1, P(A\Н2) = 0,00001
Поэтому вероятность пуле попасть в мишень P(A) = 1/2*1 + 1/2*0,00001. . Предположим, что событие A произошло. Какова теперь вероятность каждой из гипотез Нi? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 100000 раз). Действительно,
Пример:

Пример:
Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике – 20 белах шаров, во втором – 10 белых и 10 черных шара, в третьем 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика извлекли белый шар. Вычислить вероятность того, что этот шар извлечен из первого ящика.
Пусть Н1 , Н2 , Н3 – гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого второго и третьего ящика, событие А – появление белого шара. Тогда P(Н1) = P(Н2) = P(Н3) =1/3 (выбор любого ящика равновозможен).
P(A\Н1) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); P(A\Н2) = 10/20=1/2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика); P(A\Н3) = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика). Тогда искомая вероятность :