Статически определимые плоские комбинированные системы типа шпренгельных балок, рам и арок

Комбинированной называется геометрически неизменяемая система, состоящая из различных
по характеру своей работы частей,
совместно участвующих в восприятии заданных воздействий.

Система
не является
комбинированной!

Типовые схемы статически определимых плоских комбинированных систем
Шпренгельные
балки
Рамы и арки
с составными
затяжками
Комбинированные системы
с простой структурой
Комбинированные
системы
со сложной структурой
Жёсткая балка
с гибкой аркой
Висячая система
«кабель + балка»

А
В
С
1
2
3
4
Структурный анализ
А
В
С
1
2
3
4
Расчёт комбинированных систем
типа шпренгельных балок, рам и арок
1
Шаг 1
2
Шаг 2
3
4
Шаг 3
С
Шаг 4
В
Шаг 5
Шаг 5
А
Расчёт системы
Порядок ш а г и
– синтеза 1 2 3 4 5
– расчёта V IV III II I
А
В
С
1
3
4
2
VА
VB
HА
Шаг I
ΣmA = 0,
ΣmB = 0,
Σх = 0
VA , VB , HА
Шаг II
I
I

А
В
С
1
2
3
4
Расчёт системы
Порядок ш а г и
– синтеза 1 2 3 4 5
– расчёта V IV III II I
В
С
3
4
VB
I
I
Шаг II
VC
HC
N2-3
f
ΣmC, (CB) = 0
N2-3
Σx(CB) = 0,
Σy (CB) = 0
HC
VC
HC = – H
H
N2-3= H/cos α3
α3
Шаг III

А
В
С
1
2
3
4
Расчёт системы
Порядок ш а г и
– синтеза 1 2 3 4 5
– расчёта V IV III II I
А
В
С
1
3
4
VА
VB
HА
Шаг III
2
α3
α4
3
N2-3
N3-4
N3
x
y
α3
α4
Σx = 0,
Σy = 0
N3-4= H/cos α4
N3= H(tg α3 – tg α4)

А
В
С
1
2
3
4
Расчёт системы
Порядок ш а г и
– синтеза 1 2 3 4 5
– расчёта V IV III II I
Шаг IV
N2-3
N2-1
N2
x
y
α3
2
α2
Σx = 0,
Σy = 0
N2-1= H/cos α2
N2= H(tg α2 – tg α3)

Расчёт комбинированных систем
типа шпренгельных балок, рам и арок
А
В
С
1
2
3
4
Расчёт системы
Порядок ш а г и
– синтеза 1 2 3 4 5
– расчёта V IV III II I
Шаг V
N1
x
y
α2
N1-2
N1-0
1
α1
Σx = 0,
Σy = 0
N1-0= H/cos α1
N1= H(tg α1 – tg α2)
II
II

А
В
С
1
2
3
4
Расчёт системы
II
II
А
В
С
4
II
II
VА
VB
N1
N2
N3
N1-0
N3-4
Эпюры M, Q, N в балке

Расчёт комбинированных систем
типа «жёсткая балка с гибкой аркой»
А
В
С
i
2
3
n
0
?
Кинематический анализ
i*
2*
3*
W = 0
Направление
удалённой связи

А
В
С
Кинематический анализ
i*
2*
3*
i
2
3
n
0
Направление
удалённой связи
i*
i
3*
3
2*
2
С
W = 0
0, n, A,
B
План
перемещений
Виртуальные
перемещения
системы
с удалённой
связью
δ2*,S
δ2,S
δS
δS = δ2,S + δ2*,S = 0
Удалённая связь – необходимая
Система – геометрически неизменяемая

А
В
С
i
2
3
n
0
Расчёт системы
VА
VВ
R0
Rn
HА
H
α1
H = R0 cos α1
Неизвестные реакции
внешних связей –
VA , HA , VB , R0 , Rn
Уравнения равновесия системы в целом:
ΣmA = 0,
ΣmB = 0,
Σх = 0
Алгоритм расчёта
Равновесие узлов шарнирной цепи ( i = 1 ,…, n – 1 )

i
Расчёт системы
αi
αi+1
Ni-1, i
Ni, i+1
N i
y
Алгоритм расчёта
Равновесие узлов шарнирной цепи ( i = 1 ,…, n – 1 )
x
Σx = 0,
Σy = 0
Ni–1, i = –H/cos αi
Ni = H (tg αi – tg αi+1)
Ni-1, i = ξ i –1, i *Η
Ni = νi *Η
При вертикальных
подвесках (стойках):
H > 0 – внутрь пролёта

А
В
С
i
2
3
n
0
Расчёт системы
VА
VВ
R0
Rn
HА
H
α1
H = R0 cos α1
Алгоритм расчёта
Равновесие узлов шарнирной цепи ( i = 1 ,…, n – 1 )
2. Равновесие балки, отделённой
от шарнирной цепи

А
В
С
Расчёт системы
VА
VВ
HА
Алгоритм расчёта
Равновесие узлов шарнирной цепи ( i = 1 ,…, n – 1 )
2. Равновесие балки, отделённой
от шарнирной цепи
N i = νiH
N i+1= νi+1H
N n–1= νn–1 H
Уравнения равновесия:
ΣmC, (AC) = 0,
ΣmC,(CB) = 0,
Σy = 0,
Σx = 0
VA , VB , HA , H
Уравнения равновесия
(вариант):
ΣmA = 0,

А
В
С
Расчёт системы
VА
VВ
HА
Вариант:
непосредственное использование принципа Лагранжа
Wext + Wint = 0
N i = νiH
N i+1= νi+1H
N n–1= νn–1 H
N i = νiH
N i+1= νi+1H
N n–1= νn–1 H
F
С
q
δC
Виртуальное
перемещение
балочного механизма

А
В
Расчёт системы
VА
VВ
HА
Вариант:
непосредственное использование принципа Лагранжа
Wext + Wint = 0
F
С
q
δC
δF
δq
δNi
δN,i+1
δN,n – 1
N i = νiH
N i+1= νi+1H
N n–1= νn–1 H
δNi = kNi* δC
δF = kF* δC
δq = = kq* δC
Wint = 0
Wext = WF +Wq+ WN ;
WF = F* δF ;
Wq = q* δq ;
WN = = Ni * δNi ;
δC * ( F* kF + q* kq + νi * H* kNi ) = 0
F* kF + q* kq + H* νi * kNi = 0
H

Расчет системы
H
ΣmC,(CB) = 0,
Σy = 0,
Σx = 0
VB
VA
HA
Расчёт системы
N i+1= νi+1H
N n–1= νn–1 H
А
В
С
VА
VВ
HА
N i = νiH
Эпюры M, Q, N в балке
VA , VB , HA , H

А
В
С
i
2
3
n
0
Аналогия с трёхшарнирной аркой
О г р а н и ч е н и е :
только при вертикальной нагрузке
и вертикальных стойках (подвесках)
А/
B/
C/
А/
B/
C/

А/
B/
C/
Аналогия с трёхшарнирной аркой
х
θ(х)
Qа (x)
Mа (x)
А
В
С
х
Внутренние силовые факторы
в сечении балки комбинированной системы:
Q (x) = Qа (x) / cos θ(x)
M(x) = Mа (x)
х
α0
H
H
f
H = M0,C /f
Усилия в стойках и элементах шарнирной цепи:
Ni = νi H
Ni–1, i = ξi–1, i H

А/
B/
C/
Аналогия с трёхшарнирной аркой
θK’
А
В
С
хK
х
α0
H
H
f
Л.В. Ni = νi * Л.В. H
Л.В. Ni–1, i = ξi–1, i * Л.В. H
K
F = 1
K’
хK
F = 1
Л.В. H
a b/(f l)
a
b
Л.В. MK = Л.В. MK’
Л.В. QK = Л.В. QK’ /cos θK‘
Линии влияния силовых факторов
1