Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.
Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.
Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка N0 называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности её лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, Обозначается . Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной - - окрестность точки M0(x0;y0).