Трехшарнирные системы

Если диски 1 и 2 представляют собой кривые брусья, то такая система называется трехшарнирной аркой (см. рис. 1)
ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ
A
A
B
B
C
C
f
f
1)
2)
l
l
1
1
2
2
Если диски 1 и 2 представляют собой ломанные брусья, то система называется трехшарнирной рамой (см. рис. 2)
Расстояние между опорами А и Б называется пролетом арки - l
Расстояние от прямой соединяющей опорные шарниры А и Б до шарнира С называется стрелой подъема арки - f

Шарниры А и В называются опорными или пятовыми шарнирами, а шарнир С называется ключевым шарниром или замковым
ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ
A
A
B
B
C
C
f
а)
б)
l
l
Если 0,1≤ f/l ≤ 0,3 – арки называются пологими
Если 0,3< f/l ≤ 1,0 – арки называются повышенными
Трехшарнирные системы являются статически определимыми : W=3D-2ШО-СОП=3·2-2·1-4=0,
Пята
Ключ
и геометрически неизменямыми системами
f

В опорах трехшарнирных систем, при действии внешних нагрузок, возникают четыре опорные реакции,
ТРЕХШАРНИРНЫЕ СИСТЕМЫ
A
A
B
B
C
C
1)
2)
l
l
∑МСПРАВ = 0 или ∑МСЛЕВ = 0.
Трехшарнирные системы являются распорными системами, так как горизонтальные составляющие опорных реакций направлены внутрь сооружения
Р
VА
VВ
НА
НВ
определяют которые используя три уравнения статики, а наличие ключевого шарнира С позволяет составить еще одно дополнительное уравнение:
f
f

Классификация трехшарнирных систем
Трехшарнирные системы могут быть симметричными (см. рис. 1 и 2)
3)
и несимметричными – рис. 3

Классификация трехшарнирных систем
Опорные шарниры А и В могут располагаться в одном уровне (см.рис. 1,2,3) и могут располагаться в разных уровнях (рис. 4) – такие системы называются ползучими арками или рамами
4)

Классификация трехшарнирных систем
В строительной практике применяются также трехшарнирные системы у которых распор воспринимается затяжкой – рис. 5, 6
Затяжка
Затяжка
арка с затяжкой в уровне опор
арка с повышенной затяжкой

Классификация трехшарнирных систем
Если каждая полуарка выполнена в виде фермы, то такая система называется сквозной аркой или трехшарнирной фермой – рис. 7

Расчет трехшарнирных арок на неподвижные нагрузки
C
A
B
1. Опорные реакции
∑МА=0; => VB = VB0
∑МB=0; => VA = VA0
∑МCлев=0; или ∑МСправ =0;
=> Н=МС0/ f .
∑X=0; => HA = HB = H
2. Внутренние усилия
Покажем на оси арки сечение, расположенное на расстоянии X от левой опоры
Очертание оси арки y=f(x) задано
Для определения внутренних усилий рассмотрим часть арки и балочной аналогии, расположенной левее сечения
y(x) – расстояние по вертикали от оси х до сечения, ϕ(х) – угол наклона касательной, проведенной к сечению к оси х

Расчет трехшарнирных арок на неподвижные нагрузки
ϕ(x)
Изгибающие моменты в сечениях арки
M(x)=VA·x – P1·(x-a1) - H·y(x)
M0(x)
Тогда, в общем виде:
M(x)=M0(x)- H·y(x) (1)
Поперечные силы в сечениях арки
Q(x)=(VA – P1 )·cosϕ - H·sinϕ
Q0(x)
Или в общем виде:
Q(x)=Q0(x)·cosϕ - H·sinϕ (2)
Продольные силы в сечениях арки
N(x)= -(VA – P1 )·sinϕ - H·cosϕ
Q0(x)
Или в общем виде:
N(x)= -Q0(x)·sinϕ - H·cosϕ (3)

Для построения эпюр в трехшарнирных арках поступают следующим образом.
По полученным значениям усилий строят соответствующие эпюры.
Не зависимо от внешних нагрузок эпюры М, Q и N в арках криволинейны, поскольку ось арки и угол наклона касательной по длине пролета изменяются нелинейно .
Арку разбивают на достаточное число участков (10-15 в зависимости от требуемой точности расчета) и в соответствии с формулами (1), (2), (3) определяют внутренние усилия М, Q и N во всех сечениях, на границах участков.
Построение эпюр в трехшарнирных арках
В местах приложения сосредоточенных сил в эпюре Q получаем скачок на величину P·cosϕ
, а на эпюре N - скачок P·sinϕ .

Вид эпюр и значения величин внутренних усилий в арках зависят от очертания оси арки.
Такая арка и называется аркой рационального очертания.
Пример:
Для заданного вида нагрузки можно подобрать такое очертание оси арки, что изгибающие моменты М и поперечные силы Q в любом ее сечении будут равны нулю.
Арка рационального очертания
Пусть трехшарнирная арка пролетом l и стрелой подъема f загружена по всей длине пролета равномерно-распределенной нагрузкой q.
Необходимо подобрать очертание оси арки, при котором М и Q в любом ее сечении будут равны нулю.

Арка рационального очертания
C
A
B
Уравнение (1) изгибающих моментов в сечениях арки записывается M(x)=M0(x)- H·y(x)
Приравнивая полученное выражение нулю, имеем
M0(x)- H·y(x)=0 (а)
Или
y(x)= M0(x) / H (б)

Арка рационального очертания
M0(x)=(ql/2)⋅x – qx2/2 = (q/2)·x⋅(l - x)
M0C = (ql)/2⋅l/2 - (ql)/2⋅l/4 = ql2/8
H = M0C / f = (ql2)/(8f)
Подставляя полученные значения M0(x) и Н в (б), получаем уравнение оси арки рационального очертания
y(x) = (4f /l2)·x(l - x)

Особенности расчета арок с затяжками
1. Рассмотрим арку с затяжкой в уровне опор При действии на такую арку внешних нагрузок, в опорах возникают только вертикаль-ные составляющие опорных реакций.
Их определяют с помощью уравнений статики
∑МА=0; => VB ; ∑МВ=0; => VА
Для определения усилия в затяжке, проводят сечение через шарнир С и затяжку.
И записывая одно из уравнений в виде ∑МСЛЕВ =0 или ∑МСПРАВ =0 определяют усилие в затяжке NЗ .

Особенности расчета арок с затяжками
1. Рассмотрим арку с затяжкой в уровне опор Внутренние усилия в сечениях арки с затяжкой определяют по тем же формулам (1) – (3) что и в обычных арках, только вместо распора Н принимают усилие в затяжке NЗ
M(x)=M0(x)- NЗ·y(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ - NЗ·sinϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ - NЗ·cosϕ

Особенности расчета арок с затяжками
2. Арка с повышенной затяжкой
В арках с повышенной затяжкой в опорах так же возникают только вертикаль-ные составляющие опорных реакций.
Их определяют с помощью уравнений статики
∑МА=0; => VB ; ∑МВ=0; => VА
Для определения усилия в затяжке, проводят сечение через шарнир С и затяжку.
Записывая уравнение в виде ∑МСЛЕВ =0 или ∑МСПРАВ =0 определяют усилие в затяжке NЗ .

Особенности расчета арок с затяжками
2. Арка с повышенной затяжкой
На участках арки AD и BЕ внутренние усилия опреде-ляют без учета NЗ
На участке DCЕ внутренние усилия определяют с учетом усилия в затяжке NЗ
M(x)=M0(x)- NЗ·y I(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ - NЗ·sinϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ - NЗ·cosϕ
M(x)=M0(x) Q(x)=Q0(x)·cosϕ N(x)= -Q0(x)·sinϕ
где y I(x) – расстояние по вертикали от усилия в затяжке до сечения.

3-х шарнирные арочные фермы