Углы, связанные с окружностью

Углы, связанные с окружностью
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным
Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным
Каждый центральный угол данной окружности определяют дугу окружности, которая состоит из точек окружности, принадлежащих этому углу
Богомолова ОМ

Вписанный угол
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности
Вписанный угол измеряется половиной дуги окружности
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны
Богомолова ОМ

Угол между касательной и хордой
Угол, с вершиной на окружности, одна сторона которого лежит на касательной, а вторая – пересекает окружность, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри этого угла
Богомолова ОМ

Угол с вершиной внутри окружности
Угол, с вершиной внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол
Богомолова ОМ

Угол с вершиной вне окружности
Угол, с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла
Богомолова ОМ

Угол с вершиной вне окружности
Угол, с вершиной вне окружности, одна сторона которого лежит на касательной к окружности, а вторая сторона пересекает окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла
Богомолова ОМ

Угол с вершиной вне окружности
Угол, с вершиной вне окружности, стороны которого лежат на касательных к окружности, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла
Богомолова ОМ

Упражнение 1
Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?
Ответ: 90о
Богомолова ОМ

Упражнение 2
Найдите центральный угол AOB, опирающийся на хорду AB, равную радиусу
Ответ: 60о
Богомолова ОМ

Упражнение 3
Угол ACB вписан в окружность. Градусные величины дуг AC и BC равны 98о и 48о соответственно. Найдите угол ACB
Ответ: 107о
Богомолова ОМ

Упражнение 4
Ответ: 30о
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности
Богомолова ОМ

Упражнение 5
Ответ: 18о
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет 10 % окружности
Богомолова ОМ

Упражнение 6
Вписанный угол на 35° меньше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол
Ответ: 35о
Богомолова ОМ

Упражнение 7
Центральный угол на 51о больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол
Ответ: 51о
Богомолова ОМ

Упражнение 8
Под каким углом из точки C дуги окружности видна стягивающая ее хорда, если дуга содержит 100о?
Ответ: 130о
Богомолова ОМ

Упражнение 9
Под каким углом из точки дуги окружности видна стягивающая ее хорда, если дуга составляет одну треть окружности?
Ответ: 120о
Богомолова ОМ

Упражнение 10
Угол ACB, величиной 50о, вписан в окружность. Найдите градусную величину дуги ACB
Ответ: 260о
Богомолова ОМ

Упражнение 11
Ответ: 50о
Вершины треугольника ABC, вписанного в окружность, делят окружность на части, градусные величины которых равны 100о, 120о и 140о. Найдите наименьший угол треугольника ABC
Богомолова ОМ

Упражнение 12
Ответ: 45о
Сторона AB треугольника ABC равна , радиус описанной окружности равен 1. Найдите угол C
Богомолова ОМ

Упражнение 13
Ответ: 30о
Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне
Богомолова ОМ

Упражнение 14
На рисунке угол ACB равен 30о, угол AEF равен 40о. Найдите угол BDF
Ответ: 70о
Богомолова ОМ

Упражнение 15
Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны 45о и 30о соответственно, S – точка пересечения AD и BC. Найдите угол ASC
Ответ: 75о
Богомолова ОМ

Упражнение 16
Хорда CD пересекает диаметр AB окружности под углом 60о. Градусная величина дуги AD равна 80о. Найдите градусную величину дуги BC
Ответ: 40о
Богомолова ОМ

Упражнение 17
На рисунке угол A равен 40о, угол B равен 30о, угол D равен 45о. Найдите угол EFC
Ответ: 115о
Богомолова ОМ

Упражнение 18
Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от окружности дуги A1B1, A2B2, градусные величины которых равны 30о и 100о. Найдите угол C
Ответ: 35о
Богомолова ОМ

Упражнение 19
Углы ABC и BCD вписаны в окружность и равны 20о и 50о соответственно, S – точка пересечения прямых AB и CD. Найдите угол ASC
Ответ: 30о
Богомолова ОМ

Упражнение 20
Стороны угла с вершиной C вне окружности отсекают от окружности дуги AB1, AB2, градусные величины которых равны 60о и 140о соответственно, CA – касательная. Найдите угол C
Ответ: 40о
Богомолова ОМ

Упражнение 21
Через концы дуги в 60о проведены касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB
Ответ: 120о
Богомолова ОМ

Упражнение 22
Хорда АВ стягивает дугу окружности в 44о. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательными к окружности, проведенными через ее концы
Ответ: 22о
Богомолова ОМ

Упражнение 23
Две равные окружности расположены таким образом, что каждая из них проходит через центр другой. Найдите угол, под которым видна их общая хорда AB из центра O1 одной из окружностей
Ответ: 120о
Богомолова ОМ

Упражнение 24
Острый вписанный угол опирается на хорду, которая делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 4 : 5. Найдите этот угол
Ответ: 80о
Богомолова ОМ

Упражнение 25
Ответ: 90о
Точки А, В, С, расположенные на окружности c с центром в точке O, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 3 : 4 : 5. Найдите угол AOB
Богомолова ОМ

Упражнение 26
Ответ: 105о
Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите больший угол треугольника АВС
Богомолова ОМ

Упражнение 27
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите меньший угол четырехугольника ABCD
Ответ: 60о
Богомолова ОМ

Упражнение 28
В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, угол A равен 75о, угол B равен 90о. Найдите разность двух других углов
Ответ: 15о
Богомолова ОМ

Упражнение 29
Углы A и C вписанного в окружность пятиугольника ABCDE равны 120о и 100о соответственно. Найдите угол DBE
Ответ: 40о
Богомолова ОМ

Упражнение 30
На рисунке угол A равен 120о, угол C равен 110о. Найдите угол E
Ответ: 130о
Богомолова ОМ

Упражнение 31
Хорда CD перпендикулярна радиусу OB окружности и пересекает его в середине E. Найдите градусную величину дуги BC
Ответ: 60о
Богомолова ОМ

Упражнение 32
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре части, градусные величины которых относятся как 3:7:5:3. Найдите угол между диагоналями AC и BD четырехугольника ABCD
Ответ: 80о
Богомолова ОМ

Упражнение 33
Окружность разделена точками A, B, C, D на четыре части, градусные величины которых относятся как 1:2:3:4. Найдите угол между прямыми AD и BC
Ответ: 36о
Богомолова ОМ

Упражнение 34
Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу окружности. Найдите угол между касательными
Ответ: 60о
Богомолова ОМ

Упражнение 35
В угол АСB вписана окружность. Точки касания делят окружность на дуги, градусные величины которых относятся как 3:2. Найдите величину угла АCB
Ответ: 36о
Богомолова ОМ

Упражнение 36
В угол АСB, величиной 50о, вписана окружность. Точки касания делят окружность на две дуги. Найдите градусную величину наибольшей дуги окружности, заключенной внутри угла ACB
Ответ: 230о
Богомолова ОМ

Упражнение 37
В угол АСB, величиной 45о, вписана окружность. Точки касания делят окружность на две дуги. Найдите число, выражающее отношение градусных величин меньшей и большей дуг окружности, заключенных внутри угла ACB
Ответ: 3:5
Богомолова ОМ

Упражнение 38
Окружность разделена точками А, В, С на дуги, градусные величины которых относятся как 11 : 3 : 4. Через точки А, В, С проведены касательные до их взаимного пересечения. Найдите наибольший угол образовавшегося треугольника DEF
Ответ: 80о
Богомолова ОМ

Упражнение 39
Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40о, угол B равен 60о. Найдите угол между касательной к окружности, проведенной через вершину C и прямой AB
Ответ: 20о
Богомолова ОМ

Упражнение 40
Треугольник ABC вписан в окружность. Угол A равен 40о, угол B равен 60о. Найдите угол между касательными к окружности, проведенной через вершины A и B
Ответ: 20о
Богомолова ОМ

Упражнение 41
Стороны четырехугольника ABCD касаются окружности в точках, делящих эту окружность на четыре части, градусные величины которых относятся как 8:7:11:10. Найдите наименьший угол четырехугольника ABCD
Ответ: 70о
Богомолова ОМ