В помощь арифметике

Арифметика зачастую не в силах собственными средствами доказать правильность некоторых из её утверждений. Ей приходится в таких случаях прибегать к обобщающем приёмам алгебры. К подобным арифметическим положениям, обосновываемым алгебраически, принадлежат, например, мгновенные правила сокращённого выполнения действий, любопытные особенности некоторых чисел, признаки делимости и др. Рассмотрению вопросов этого рода и посвящается эта презентация.

Мгновенное умножение
Попробуйте решить вычисление
9882.
Если будите выполнять обычным вычислением, это займёт много времени. И что бы облегчить себе работу достаточно знать несложные алгебраические преобразования.

9882 = 988х988 = (988+12)х(988 – 12)+122 =
= 1000х976+144 = 976 144.
632=(63+3)х(63-3)+32=3969;
182=20х16+22=324 и т. п.

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, очень удобен следующий способ:
352; 3х4=12 Ответ:1225
652; 6х7=42 Ответ:4225
752; 7х8=56 Ответ:5625
Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу больше, и к произведению приписывают 25.

Цифры 1, 5 и 6
Вероятно, все заметили, что от перемножения ряда чисел, оканчивающихся единицей или пятёркой, получается число, оканчивающееся той же цифрой. Менее известно, что сказанное относится и к числу 6. Поэтому, между прочим, всякая степень числа, оканчивающегося шестёркой, тоже оканчивается шестёркой.
Например:
3862567 оканчивается на 6,
815723 оканчивается на 5,
4911732 оканчивается на 1 и т. п.

Числа 25 и 76
Имеются и двузначные числа, обладающие тем же свойством, как и числа 1, 5 и 6. Это число 25 и – что, вероятно, для многих будит неожиданностью, - число 76. Всякие два числа, оканчивающиеся на 76, дают в произведении число, оканчивающееся на 76.
Проверим:
3762 = 141 376, 5763 =191 102 976
и т. п.

Делимость на 11.
Алгебра весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны.

Проверим эту теорию, например, число
87 635 064:
8+6+5+6=25,
7+3+0+4=14,
25-14=11.
Значит, данное число делится на 11.
Признак делимости на 11, надо из суммы всех цифр, занимающих нечётные места, вычесть сумму всех цифр, занимающих чётные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то испытуемое число кратно 11.

Существует и другой признак делимости на 11, удобный для не очень длинных чисел. Он состоит в том, что число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани. Если полученная сумма делится без остатка на 11, то число кратно 11, в противном случае – нет.
Например, пусть требуется испытать число 528. Разбиваем число на грани (5|28) и складываем обе грани:
5+28=33
Так как 33 делится без остатка на 11, то и число 528 кратно 11.

Делимость на 19
Число делится без остатка на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.
Пусть, например, требуется определить, делится ли на 19 число 47 045 881.

4704588|1
+2
---------------------
47045|90
+18
--------------------
4706|3
+6
--------------------
471|2 +4
---------------------
47|5
+10
---------------------
5|7
+14
---------------------
19
Так как 19 делится на 19,
наше число 47 045 881. делится на 19 без остатка.