(вычерчивание фигуры непрерывной линией)

Раньше я иногда встречался с
заданиями обвести фигуру одним
росчерком , но не знал что эти
задания можно решить с точки
зрения математики.
А теперь благодаря нашему учебнику
по математике авторов И.Ф.
Дорофеева и Г.В.Шарыгина я не
только это понял, но и научился
решать эти задания без особой
сложности.
P.S. Научись и ты.
Почему мне это интересно

Цели и задачи работы:
№1 Изучить основы теории графов, историю ее создания. №2 Научиться применять теорию графов при решении задач,
при начертании фигур одним росчерком.
№3 Проверить возможность пройти по поселку, не заходя в одну и ту же точку дважды.

Теория графов
Слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от латинского слова «графио» - пишу.

Теория графов
В математике определение графа дается так:
Графом называется конечное множество точек,
некоторые из которых соединены линиями. Точки
называются вершинами графа, а соединяющие линии
рёбрами.
Примерами графов могут служить схемы
авиалиний, метро, дорог, электросхемы,
чертежи многоугольников. Использует графы и
дворянство. Например, в генеалогическом дереве,
вершины – члены рода, а связывающие их отрезки –
отношения родственности.

Теория графов
С помощью графов часто упрощалось решение задач,
сформулированных в различных областях знаний: в
автоматике, электронике, физике, химии и др.
Помогаю графы в решении математических и
экономических задач.

Примеры графов

Задачи
№1В государстве система авиалиний устроена
таким образом, что любой город соединён
авиалиниями не более чем с тремя другими и из
любого города в любой другой можно проехать,
сделав не более одной пересадки. Какое максимальное
число городов может быть в этом государстве?
№2Нарисовать плоский граф, имеющий 6 вершин,
степень каждой из которых
равна а)3 б)4.

Решения задач
№1Пусть существует некоторый город А. Из него можно добраться
не более, чем до трёх городов, а из каждого из них ещё не более чем
до двух (не считая А). Тогда всего городов не более 1+3+6=10. Значит
всего городов не более 10. Пример на рисунке (его ещё называют
графом Петерсона) показывает существование авиалиний.
№2
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
И
К
З
а)
б)

(1707-1783)
Леонард Эйлер принадлежит к числу гениев, чье творчество стало достоянием всего человечества. Открытия Эйлера в математике, механике, физике и технике прочно вошли в современную науку. Многие из них были сделаны в Петербургской Академии наук, где Леонард Эйлер проработал 31 год (в 1727-1741 гг. и 1766-1783 гг.).
(1707-1783)
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. Кенигсбергцы предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причём на каждом мосту следовало побывать только один раз.
ЗАДАЧА О КЕНИГСБЕРГСКИХ МОСТАХ

Из письма Карлу Готлибу Элеру от 3 апреля 1736 года.
Наконец, ты, славнейший муж, выражаешь желание ознакомиться с моим способом построения мостов; охотно представляю этот способ на твой суд. Ибо, когда ты попросил у меня решения этой проблемы, приспособленной к частному случаю Кёнигсберга, ты, вероятно, считал, что я предложил такого рода построение мостов, но я не сделал это, а только доказал, что такое построение вообще не может иметь места, и это следует принять вместо решения. Способ же мой является универсальным, так как с его помощью в любом предложенном мне случае этого рода я тотчас могу решить, следует ли строить переход с помощью отдельных мостов или нет, и в первом случае могу установить, каким образом этот переход следует осуществить.

«Я рассмотрел произвольно взятую фигуру разветвления реки, а также мосты а, b, с, d, e, f, как это указано на и установил, что возможен переход, который я представляю следующим образом…
Итак, АВСАСАВ будет определять переход, совершаемый через все мосты по одному разу; число этих букв должно быть на единицу больше, чем число мостов; это должно иметь место при любом возможном переходе описанным способом, в чем каждому легче убедиться самому, чем доказывать.»

«Следовательно, надо держаться следующего правила: если на каком-либо рисунке число мостов, ведущих в некоторую область, будет нечетным, тогда желаемый переход через все мосты одновременно не может быть осуществлен иначе, как если переход или начинается, или заканчивается в этой области. А если число мостов четное, отсюда не может возникнуть никакого затруднения, так как ни начало, ни конец перехода при этом не фиксируются. Отсюда следует такое общее правило: если будет больше чем две области, к которым ведет нечетное количество мостов, тогда желательный переход вообще не может быть совершен.»

Закономерность 1 Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.
Закономерность 2 Если все вершины графа четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги («одним росчерком»), проводя по каждому ребру только один раз, начертить этот граф. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.
Закономерность 3: Граф, имеющий всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.
Закономерность 4: Граф, имеющий более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком».
Фигура (граф), которую можно начертить не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЙЛЕРА

Примеры
Эти фигуры одним росчерком нельзя обвести!
Почему нельзя обвести?
Не знаешь смотри на 9 слайде.

Примеры
Эти фигуры одним росчерком обвести можно!

Примеры подробней
A
B

Примеры подробней
Эту фигуру нельзя обвести

Самопроверка
Не получается? Прочитай правила выше!

Наш поселок с точки зрения Л. Эйлера
п.Передовой
Новая
Боевая единица
Красный кубанец
Молодежная
Первомайская
Октября
Ново-молодежная

Вывод:
1. Мы узнали историю графов и изучили
основы теории графов.
2. Так же мы научились использовать
графы в решении задач и в начертании
фигур одним росчерком.
3. Так же мы проверили возможность
пройти по нашему поселку, не заходя на
одну и ту же улицу.