Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

В 7 классе на уроках геометрии мы познакомились с задачами на построение. В учебниках предложен один способ построения для каждой классической задачи.
Я попыталась оформить все задачи в электронном виде и для одной из задач провести исследование.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.
Линейка позволяет провести произвольную
прямую, а также построить прямую, проходящую
через две данные точки; с помощью циркуля
можно провести окружность произвольного
радиуса, а также окружность с центром в
данной точке и радиусом, равным данному
отрезку.
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Основные этапы
решения задачи на построение
1 АНАЛИЗ
2. ПОСТРОЕНИЕ
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
4. ИССЛЕДОВАНИЕ
В том случае, когда при построении получаются равные фигуры, будем считать, что задача имеет единственное решение.

Условные обозначения
∠ - знак угла
окр(О;г) - окружность с центром в точке О и радиусом г
∩ - знак пересечения
{ } - в скобках указано множество точек пересечения
∈ - знак принадлежности
⊥ - знак перпендикулярности
: - заменяет слова ”такой что”

Задача 1
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному
Дано:
Луч h, О- начало
PQ-отрезок
Построить:
A∈h
OA=PQ
h
A
Построение:
1. окр(О;PQ)
2. h∩окр(O;PQ)= {A}
3. OA-искомый
P Q
OA:
O

Задача 2
Построить середину данного отрезка
Дано:
АВ-отрезок
А
Построить:
О∈АВ
ОА=ОВ
О:
Построение:
1. окр(А ;АВ)
2. окр(В;ВА)
3. окр(А;АВ)∩окр(В;ВА)= {P;Q}
4. PQ-прямая
P
Q
5. PQ∩AB={O}
О
6. O- искомая точка
B
O

Задача 2
Построить середину данного отрезка
Дано:
АВ-отрезок
А
Построить:
О∈АВ
ОА=ОВ
О:
P
Q
О
B
О
Доказательство:
ΔAPQ=ΔBPQ( по трем сторонам)
так как 1) AP=BP=г
2) AQ=BQ=г
3) PQ-общая
Следовательно, ∠1=∠2
Значит, РО-биссектриса равнобедренного ΔАРВ.
1
2
Значит, РО и медиана ΔАРВ. То есть, О-середина АВ.

Задача 2
Построить середину данного отрезка (строим окружность, радиус которой меньше данного отрезка)
Дано:
АВ-отрезок
А
Построить:
О∈АВ
ОА=ОВ
О:
Построение:
1. окр(А ;АF)
2. окр(В;ВM)
3. окр(А;АF)∩окр(В;ВM{P;Q}
4. PQ-прямая
P
Q
5. PQ∩AB={O}
О
6. O- искомая точка
B
O
М
F
исследование

Задача 2
Построить середину данного отрезка (при построении проводим окружность, радиус которой меньше половины данного отрезка)
Дано:
АВ-отрезок
А
Построить:
О∈АВ
ОА=ОВ
О:
Построение:
1. окр(А ;АM)
2. окр(В;ВT)
3. окр(А;АM) не пересекает окр(В;ВT)= {P;Q}
B
М
T
исследование
Значит построение середины отрезка невозможно.

Задача 3
Построить прямую, проходящую через данную
точку и перпендикулярную к данной прямой
Дано:
прямая а
а
точка M
Построить:
m:
M∈m
m ⊥a
точка М принадлежит прямой а
М
Построение:
1. окр(М;г); г-любой
A
A1
2. окр(М;г)∩а={А;А1}
3. окр(А;АА1)
4. окр(А1;A1A)
5. окр(А;АА1)∩окр(А1;А)={P;Q}
P
Q
6. прямая PQ=m
7. m-искомая
m
m

Задача 4
Построить прямую, проходящую через данную
точку и перпендикулярную к данной прямой
Дано:
прямая а
а
точка M
Построить:
m:
M∈m
m ⊥a
точка М не принадлежит прямой а
М
Построение:
1. окр(М;г)
A
A1
2. окр(М;г)∩а={А;А1}
3. окр(А;АМ)
4. окр(А1;A1М)
5. окр(А;АМ)∩окр(А1;А1М)={M;Q}
Q
6. прямая МQ=m
7. m-искомая
m
m

Задача 4
Построить прямую, проходящую через данную
точку и перпендикулярную к данной прямой
Дано:
прямая а
а
точка M
Построить:
m:
M∈m
m ⊥a
точка М не принадлежит прямой а
М
A
A1
Q
m
m
Доказательство:
ΔAМQ=ΔА1MQ( по трем сторонам)
так как 1) AM=А1M=г
2) AQ=A1Q=г
3) MQ-общая
Следовательно, ∠1=∠2.
Тогда, МО-биссектриса равнобедренного ΔАМА1.
1
2
О
Значит, МО и высота ΔАМА1. Тогда, МQ ⊥a.

Задача 5
Отложить от данного луча угол, равный данному
Дано:
луч ОМ
О
М
∠А
А
Построить:
Построение:
1. окр(А,г); г-любой
С
В
3. окр(О,г)
Е
4. окр(О,г) ∩ОМ= {Е}
5. окр(Е,ВC)
К
К1
6. окр(Е,BС)∩окр(О,г)= {К;К1}
7. луч ОК; луч ОК1
8. ∠КОМ -искомый
∠KOM=∠А
2. окр(А;г)∩∠А={В;С}

Задача 5
Отложить от данного луча угол, равный данному
Дано:
луч ОМ
О
М
∠А
А
Построить:
С
В
Е
К
К1
∠KOM=∠А
Доказательство:
ΔAВС=ΔОЕК(по трем сторонам) так как 1) АВ=ОЕ=г
2) АС=ОК=г
3) ВС=ЕК=г1
Следовательно, ∠КОМ=∠А

Задача 6
Построить биссектрису данного угла
Дано:
∠А
Построить:
Построение:
А
1. окр(А;г); г-любой
Луч AE-биссектрису ∠А
2. окр(А;г)∩∠А={В;С}
C
B
3. окр(В;г1)
4. окр(С;г1)
E
E 1
5. окр(В;г1)∩окр(С;г1)={Е;E1}
6. Е-внутри ∠A
7. AE-луч
8. AE-искомый
Е