Задачи поддержки принятия решений (ЗПР)

Теоретико-игровые модели

Задачи поддержки принятия решений
ЗПР в условиях определенности
(1)
ЗПР при неконтролируемых параметрах
(2)

Задачи поддержки принятия решений
Принцип осреднения параметров
(3)
Принцип гарантированного результата
(4)
Определение 1. Пусть , тогда вариационным расширением (ВР) задачи (2) будем называть следующую задачу
(5)

Пример
Игра «Государство-Предприниматели»
Целевая функция центра:
Целевая функция предпринимателей:
x – предпринимательская прибыль (0≤ x ≤ xmax);
k – доля прибыли, отчисляемая в качестве налогов (0≤ k ≤ 1);
φ(x,δ) – предпринимательские риски.

Вариационное расширение:
Пример

Пример игры 2-х лиц
с совпадающими интересами при асимметрии информированности
Целевая функция
(6)
при условиях
(7)

Игры n лиц
Определение 2. Ситуация является равновесной по Нэшу, если для всех справедливо неравенство:
Предположим
Тогда задача (6), (7) примет вид:

Задачи поддержки принятия решений при асимметрии информированности
w=(w1,w2,…,wm) – случайный вектор с функцией распределения Φ(w)
множество Im={1,2,…,m} – индексы компонент вектора w
множество Si ⊆ Im – совокупность индексов, определяющих информационную структуру i- ой решающей функции, i∈In={1,2,…,n}
x=(x1,x2,…,xn) – вектор управления, где xi=xi(di), di=(wj), j∈Si.
Таким образом, задача примет вид:
Ji (x)=M[Fi (x(w),w)]→max, i∈In (8)
xi∈Xi
условие разной информированности приводит к отсутствию соответствующей переменной :

Вариационное расширение

Задачи поддержки принятия решений
при асимметрии информированности
Игра в нормальной форме:
(9)

Необходимые условия оптимальности
Функция Лагранжа:
Уравнение Эйлера:
Условие трансверсальности:
(10)

Игра двух лиц при асимметрии информированности
(11)
(12)

Игра двух лиц при асимметрии информированности
Утверждение 1
Пусть компоненты случайного вектора w есть независимые случайные величины, тогда равновесие по Нэшу задачи (12) при условиях (11), и a11, b22 ≤ 0 достигается на линейных по своим переменным
функциях и , где a11 и b22 элементы матриц A и B соответственно.

Игра двух лиц при асимметрии информированности
(13)

Игра двух лиц при асимметрии информированности
Утверждение 2
Решение задачи (12) при условиях (11), в концепции равновесия Нэша существует и единственно, если выполняются условия:

Задача стимулирования в активных системах
Обозначим – действие i-го АЭ, – множество активных элементов.
z = Q(y), где z –результат деятельности АЭ, входящих в систему.
Пусть индивидуальные затраты i-го АЭ будут
Функцию стимулирования для i-го АЭ обозначим
тогда, целевая функция i-го АЭ примет вид:
Целевая функция центра будет выражаться как разность между результатом деятельности системы и суммарными затратами на стимулирование:

Задача стимулирования в активных системах
Ограничения
.
а) функция непрерывна по всем переменным;
б) , не убывает по ;
в) ;
г) ;
Функции стимулирования кусочно-непрерывные и принимают неотрицательные значения.
Целевая функция центра непрерывна по всем переменным и достигает максимума при не нулевых действиях агентов.

Задача стимулирования в активных системах с разной информированностью АЭ
Обозначим – действие i-го АЭ, – множество АЭ
z = Q(u), где z –результат деятельности АЭ, входящих в систему.
Пусть индивидуальные затраты i-го АЭ будут
Для оценки затрат будем использовать усредненное значение:
где – математическое ожидание.
Функцию стимулирования для i-го АЭ обозначим
тогда, целевая функция i-го АЭ примет вид:
Целевая функция центра будет выражаться как разность между результатом деятельности системы и суммарными затратами на стимулирование:

Задача стимулирования в активных системах с разной информированностью АЭ
Ограничения
.
,где
а) функция , является неубывающей по , если
и выполнено неравенство ;
б) затраты i-го АЭ не убывают по ;
в) ;
г) ;
Функционалы стимулирования кусочно-непрерывные и принимают неотрицательные значения.
Целевая функция центра непрерывна по всем переменным и достигает максимума при не нулевых действиях агентов.

Пусть ситуация равновесия в игре
, тогда является ситуацией равновесия для игры

Задача стимулирования в случае квадратичной структуры
Выпишем функции Лагранжа , :
где – множители Лагранжа.
Уравнение Эйлера:
Условие трансверсальности:
Отсюда система уравнений Эйлера путем несложных преобразований сводится к интегральному уравнению Фредгольма:
где , , ,
,

Рассмотрим задачу стимулирования второго рода в АС с двумя АЭ, имеющими функции затрат:
где – некоторый параметр, – оценка квалификации АЭ.
Пусть функция дохода центра
Фонд заработной платы ограничен величиной R (глобальное ограничение)
Центр использует систему стимулирования:
Задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:
Пример задачи стимулирования второго рода

Задачу (6) решим с помощью метода множителей Лагранжа.
Выпишем функцию Лагранжа:
где – множитель Лагранжа, .
Необходимые условия:
, решения не существует
, решение существует и имеет вид:
и ,решение будет следующим:
Пример задачи стимулирования второго рода

Матрица вторых производных:
Выпишем главные миноры матрицы :
В обоих точках достигается максимум функции, найдем значения данной функции в точках (10) и (11) и сравним их:
Абсолютный максимум достигается в первой точке.
Пример задачи стимулирования второго рода

Рассмотрим задачу стимулирования второго рода в АС с двумя АЭ, имеющими функции затрат:
, где – некоторый параметр, – оценка квалификации АЭ,
Пусть функция дохода центра
Фонд заработной платы ограничен величиной R (глобальное ограничение)
Центр использует систему стимулирования:
Задача центра сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:
Разная информированность АЭ:
Пример задачи стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов

Для решения задачи воспользуемся методом множителей Лагранжа:
где – множитель Лагранжа, .
Необходимые условия:
Обозначим:
Отсюда система () путем несложных преобразований сводится к интегральному уравнению:
где , , ,
Пример задачи стимулирования второго рода при разной информированности активных элементов