Замечательные кривые на примере циклоиды

Замечательные кривые
Зовут меня ученые - кривая.
Я - линия довольно не простая:
Есть у меня изгибы, повороты,
И есть прямые слуги асимптоты.
Прямая ломит напролом, ломая шею.
Я ж обойти преграды все сумею,
А максимум и минимум известны
Кривую делает особо интересной
И как не хорохорится прямая,
Довольно точна линия такая
Представит синусоиду простую,
Взять только амплитуду нулевую.
И коль соображаешь ты, братишка,
Тогда при мне не задавайся слишком
Ведь знают все детсадовцы любые,
Что в голове извилины кривые!
Но, между прочим, и для разгильдяя
Живет во мне надежда неплохая:
Лентяй из двоек вылезет,
Когда «кривая вывезет».

Циклоида
Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.

Последовательное построение циклоиды
Построение циклоиды производится в следующей последовательности:
На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr);
Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;
Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12;
Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012;
Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;
Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.
Построение циклоиды производится в следующей последовательности:
На направляющей горизонтальной прямой откладывают отрезок АА12, равный длине производящей окружности радиуса r, (2pr);
Строят производящую окружность радиуса r, так чтобы направляющая прямая была касательной к неё в точке А;
Окружность и отрезок АА12 делят на несколько равных частей, например на 12;
Из точек делений 11, 21, ...121 восстанавливают перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках 01, 02, ...012;
Из точек деления окружности 1, 2, ...12 проводят горизонтальные прямые, на которых делают засечки дугами окружности радиуса r;
Полученные точки А1, А2, ...А12 принадлежат циклоиде.

Задачи на применение полученных знаний
1. Имеет ли циклоида:
а) оси симметрии;
б) центр симметрии?
2. Предположим, что круг без скольжения катится по прямой. Как мы знаем, точки на его окружности будут описывать циклоиды.
Нарисуйте кривую, которую будет описывать:
а) точка А, закрепленная внутри круга (укороченная циклоида);
б) точка В, закрепленная вне круга (удлиненная циклоида)
3. Нарисуйте траекторию движения вершины правильного n-угольника, катящегося по прямой аналогично окружности при: а) n = 3; б) n = 4; б) n = 6.
4. Докажите, что касательная к циклоиде перпендикулярна отрезку, соединяющему точку касания и точку соприкосновения окружности с прямой, по которой она катится.