Занятие 8 «Задачи на смеси, растворы, сплавы» элективного курса по математике «Процентные расчёты на каждый день»

Цели
1.Сформировать умение работать с законом сохранения массы.
2.Обеспечить усвоение обучающими понятий концентрации вещества, процентного раствора.
3.Обобщить полученные знания при решении задач на проценты

При решении данного вида задач используются следующие допущения:
Всегда выполняется «Закон сохранения объёма и массы»
Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора)
При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

Основные понятия
Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси».
Долей а чистого вещества и смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы и объёма: а=m/М.
Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называют его долю, выраженную процентным отношением: с=а 100%.
Формула для расчёта концентрации смесей (сплавов): n=mb/mp

Задача 1
Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5% раствора

Решение
Пусть Х -количество воды, которое надо добавить. Новое количество раствора - (50 + Х) г. Количество соли в исходном растворе 50 •0,08 г. Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50 + Х) г, т. е. 0,05(50 + Х) г.
Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли».
50•0,08 = 0,05(50 + Х),
50•8 = 5(50 +Х),
80 = 50 +Х,
Х=30
Ответ: 30 г.

Задача 2
Сколько граммов 30% раствора надо добавить к 80г 12% раствора этой же соли, чтобы получить 20 % раствор соли?

Решение задачи 2
Пусть надо добавить Х г 30 % раствора соли. Получится
(80 + Х) г 20 % раствора. В 80 г 12 % раствора содержится 80•0,12 г соли 0,ЗХг соли — в Х г 30 % раствора, 0,2(80 + Х) г соли — в (80 + Х) г 20 % раствора.
Получаем уравнение:
0,Зх + 0,12•80 = 0,2(80 + Х) — это и есть «баланс по соли».
0,ЗХ+9,6 =16+0,2Х,
0,ЗХ—0,2Х= 16—9,6,
0,IХ = 6,4,
Х=64.
Ответ: 64 г.

Задача 3
Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной
концентрации, то получим 12 %-й раствор кислоты. При смешивании
двух одинаковых масс тех же растворов получим 15 %-й раствор.
Определите первоначальную концентрацию каждого раствора

Решение задачи 3
Пусть концентрация серной кислоты в первом растворе Х%, а во втором
растворе —У%. Это значит, что в 1 кг первого раствора содержится Х/100 кг кислоты и 1-Х/100 кг воды, тогда в 8 кг первого раствора 8Х /100 кг кислоты и (8-8Х/100)кг воды.
Во втором растворе аналогично: У/100кг кислоты; (1-У/100) кг воды, в 2кг- 2У/100кг кислоты и (2- 2У/100) кг воды.
После смешения получим раствор общей массой 10 кг, в нем содержится (8Х/100+2У/100) кг кислоты. По условию получаем раствор
12 %-и концентрации, значит, в 10 кг раствора будет 10• 12/100кг кислоты
Получаем уравнение 8Х/100+2У/100=1,2. Преобразуя, получим 4х + у = 60 — первое уравнение системы.
Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть возьмем по 1 кг каждого
раствора, тогда будет Х/100 кг кислоты, а в 1 кг второго раствора содержится У/100кг кислоты. Так как смесь получится 15 %-й концентрации, то в (1 + 1) кг смеси должно содержаться 2*15/100 =0,3 кг кислоты.
Получаем второе уравнение Х/100+У/100=0,3, после преобразований имеем Х+ У= 30.
Решив систему уравнений, получим Х=10, У=20.
Ответ: 10 %-й и. 20 %й растворы.

Задача 4
Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60 % и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова?

Решение задачи 4
Пусть масса куска, взятого от первого сплава т1 г, тогда масса куска от второго сплава будет 600 - т1, составим уравнение
т1•0,6 +(б00— т1)•0,4= 600•0,45,
6 т1+2400—4 т1 =2700,
20 т1 = 3000,
т1 = 150,
600— т1 =450,
т2=450.
Ответ: I50г;450г.