5. Тяготение

1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
И. Ньютон, изучая движение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела.
Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.
Впервые экспериментальное доказательство закона всемирного тяготения для земных тел, а также числовое определение гравитационной постоянной G проведено английским физиком Г. Кавендишем
(22.1)

Принципиальная схема опыта Кавендиша, применившего крутильные весы, представлена на рис. 37.

§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость
На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения F, под влиянием которой, согласно второму закону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой действует сила называемая силой тяжести.
Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:
где М — масса Земли; R — расстояние между телом и центром Земли. Эта формула дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли.
Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, Ro — радиус Земли, тогда

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.
Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от g, т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы.
Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.
Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы

Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию
Тогда вес тела
т. е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то
Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории, то , т. е. тело будет невесомым.

§ 24. Поле тяготения и его напряженность
Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на всякое тело массой т, внесенное в это поле, действует сила тяготения
Вектор не зависит от т и называется напряженностью поля тяготения.
(24.1)

Напряженность поля тяготения определяется силой, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой. Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.
Поле тяготения называется однородным, если его напряженность во всех точках одинакова, и центральным, если во всех точках поля векторы напряженности направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке (А), неподвижной по отношению к какой-либо инерциальной системе отсчета (рис. 38).

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности).
Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля действует по касательной к силовой линии.

§ 25. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения
Вычислим, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R (рис.39) на данное тело действует сила
При перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа
F = GmM/R2
(25.1)

Если тело перемещать с расстояния до , то затрачивается работа
(25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным (см. § 12).
Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.
Из формулы (25.2) получаем
(25.3)

В формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, поэтому для удобства принимают потенциальную энергию при равной нулю ( ).
Тогда (25.3) запишется в виде .
А так как первая точка была выбрана произвольно, то можно записать
Величину
являющуюся энергетической характеристикой поля тяготения, называют потенциалом.

Потенциал поля тяготения — скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.
Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен
где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.
Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R=const).
(25.4)

Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.
Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна
С другой стороны, ( — элементарное перемещение).
Т.е.

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения.
Можно показать, что
Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности направлен в сторону убывания потенциала.
(25.5)

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:
где R0 — радиус Земли. Так как
то, учитывая условие h << Ro, получим
(25.6)

§ 26. Космические скорости
Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.
Первой космической (или круговой) скоростью называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т. е. превратиться в искусственный спутник Земли.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение . По второму закону Ньютона,
Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, тогда (радиус Земли) и . Поэтому у поверхности Земли
Первой космической скорости недостаточно для того, чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения. Необходимая для этого скорость называется второй космической.

Второй космической (или параболической) скоростью называют ту наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической.
Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения:

Следовательно
Третьей космической скоростью называют скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Третья космическая скорость равна 16,7 км/с.
Впервые космические скорости были достигнуты в СССР: первая — при запуске первого искусственного спутника Земли в 1957 г., вторая — при запуске ракеты в 1959 г.
После исторического полета Ю. А. Гагарина в 1961 г. начинается бурное развитие как советской, так и зарубежной космонавтики.

§ 27. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.
Законы динамики можно применять и для неинерциальных систем, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые силы инерции.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета.

(27.1)
где - ускорение в неинерциальной системе,
- сила инерции, - ускорение в инерциальной системе).
Т.е.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
(27.2)

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета.
Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью (ω = const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Кариолисова сила инерции

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:
Силы инерции
вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета
Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем.
Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.